Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
есть контравариантный тензор ранга п — 1 относительно линейных преобразований (дивергенция).
Выполняя над некоторым тензором обе операции поочередно, мы получаем тензор того же ранга, что и первоначальный (опе-
См. также соображения, приведенные в начале § 6.
2) Ср. часть II, § 2.
3) 7|j,v есть контравариантный тензор, обратный ^juiv (см. часть II, § 1).
дхкПРОЕКТ ОБОБЩЕННОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 123
рация А, примененная к тензору). Применяя эти операции к фундаментальному тензору, получаем
^ д I 0YnvX ч
a?
Следующее рассуждение показывает, что этот оператор является родственным оператору Лапласа. В обычной теории относительности (когда гравитационное поле отсутствует) следовало бы положить
Sll = #22 = ?зз = —1, ?44 = C2T ftiv = 0 для Ii ф v; следовательно,
1
Yii — Y22 = Yss~ — 11 Y44 = ^Tt Ynv = O для ^lфv.
Если же имеется достаточно слабое гравитационное поле, т. е. если ^v и Ypiv отличаются от этих значений на бесконечно малую величину, то, пренебрегая членами второго порядка, вместо выражения (а) получаем
/ ^2Ynv ^2Ynv A2Ynv__1 A2YnvX
\ дх\ + дх\ + дх\ с2 дх\ ) '
Если поле статическое и переменной является только величина g44, то мы приходим к случаю ньютоновской теории гравитации, если положим, что полученное выражение с точностью до постоянного множителя отождествляется с величиной Tilv.
Поэтому можно считать, что выражение (а) с точностью до постоянного множителя и есть искомое обобщение Аф. Однако это было бы ошибкой, ибо при таком обобщении в подобное выражение могли бы войти члены, сами являющиеся тензорами и обращающиеся в нуль в результате сделанных допущений. Это относится к тем случаям, когда две первые производные ^rilv или Ypiv умножаются друг на друга. Так, например,
SAgg? ?Va? дхи дх*,
a?
есть ковариантный тензор второго ранга (относительно линейных преобразований); он становится величиной, бесконечно малой второго порядка, когда ga$ и Ya? отличаются от постоянных лишь на бесконечно малые величины первого порядка. Поэтому необходимо допустить, что в Tvlv наряду с (а) входят еще другие члены, для которых пока должно выполняться только одно условие, а именно: они все вместе должны иметь тензорный характер относительно линейных преобразований.124 А. Эйнштейн, М. Гроссман
Для отыскания этих членов обратимся к закону сохранения энергии-импульса. Для пояснения применяемого метода продемонстрируем его сначала на общеизвестном примере.
В электростатике ^ р есть v-я компонента импульса, пере-
UXv
даваемая единичному объему вещества, если ср означает электростатический потенциал, ар — плотность заряда. Для ср ищется дифференциальное уравнение, которое всегда удовлетворяет закону сохранения импульса. Известно, что решением задачи служит уравнение
V
Выполнение закона сохранения импульса доказывается тождеством
Sd / 0ф дф \__д_ ^ /?ф \2"1= ftp Vi / дф \
дхц KdxvOxll) dxvl2 KdxllI J dxv Zj а 2 ^ dxvp) • м- м- и
Итак, если импульс сохраняется, то для каждого v должно существовать тождество следующей структуры: в правой части
стоит произведение — на левую часть дифференциального
уравнения, в левой части — сумма производных.
Если бы[дифференциальное уравнение для ср еще не было[извест-но, то задача его получения свелась бы к нахождению этого тождества. Для нас существенно только то, что это тождество можно вывести, зная один из входящих^ него членов. Необходимо лишь повторно применять правило дифференцирования произведения
д , V _ du , dv
dxv * ' dxv * dxv
и
dv _ д , V ди
dxv dxv ^ ' dxv '
а затем переносить производные в левую часть, остальные члены в правую часть. Например, если исходить из первого члена написанного выше тождества, то поочередно получим
у /|?Ф ftp_ \ = у Аф .^Ф , у Аф ?2Ф = Zl Oxll \ dxv Oxll) Zl dxv Zj Oxvi' dxv дх»
m m m
!?ф. V i^-u—/— V /?їЛ2\ дхх Zj д* ^dxvX 2 Zj [дх») /•
откуда после перегруппировки следует указанное тождество.ПРОЕКТ ОБОБЩЕННОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 125
Вернемся теперь к нашей задаче. Из соотношения (10) следует, что
T 2 V-8-^%, (а = 1, 2, 3, 4)
HV
есть импульс (или энергия), передаваемый гравитационным полем единице объема вещества. Чтобы выполнялся закон сохранения энергии-импульса, необходимо так выбрать дифференциальные выражения Tpiv, входящие в уравнения гравитации
^®JJ,V = Tjlv,
чтобы сумму
1 -./- dZw T
2^ Zj у
IXv
можно было преобразовать в сумму производных. В то же время известно, что в искомое уравнение для I^v входит член (а). Следовательно, искомое тождество имеет вид
Сумма производных = ± ^ . ^ {^J -L. (Y«? ¦) +
ILiv a?
+ другие члены, обращающиеся в нуль в первом приближении|.
Тем самым искомое тождество определяется однозначно; образуя его указанным выше способом, получаем
a?xp a?xp
SM/- ^v fyry 1 д і l7- dy»v\
= 2 v
[IV a? r ё
^Yvp , 1 ^ AgTp дутр + YanY?V----
dza dxp 1 2 ^J '0^pv dxa dxf> a?xp a?xp
1 ^ ^тр^тр) ^04
-T 2 Vm-VYa? ~dx$ / * (12)
a?xp
Выражение, стоящее в фигурных скобках в правой части, и есть искомый тензор, входящий в уравнения гравитации