Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
К счастью, такое неполное описание плазмы позволяет выявить и проанализировать характеристики большинства неустойчивостей, которые приводят к быстрому уходу плазмы из лабораторных ловушек. Если некоторое равновесие плазмы, согласно МГД-уравнениям, оказывается неустойчивым, учет других степеней свободы в состоянии равновесия (таких, как анизотропия давления) обычно не приводит к исчезновению неустойчивости или к существенному изменению ее свойств, а только к небольшим количественным изменениям, например изменениям инкремента. В принципе возможно, но не всегда практически целесообразно решить полную систему гидродинамических уравнений с помощью быстродействующих вычислительных машин с учетом таких эффектов, как конечная электропроводность, анизотропия давления, вязкость и т. д.
УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗМЫ; ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ РАССМОТРЕНИЕ 1$7
9.1 • Одножидкостные МГД-уравнения
Уравнение непрерывности
V-PmV-H^s = O.
(5.9.1)
Уравнение движения
P-[lT+ (V-V)Vj = ^B -vp + pmg.
(5.9.2)
Уравнение состояния
(5.9.3)
Уравнения Максвелла
I п 4 JX TT
V X B = -J,
(5.9.4)
(5.9.5)
(5.9.6)
(5.9.7)
V-B = 0, VeE= 4яр q.
Закон Ома [в предположении идеальной проводимости и с учетом выражения (3.8.21)] записывается в виде
здесь в первом уравнении члены Vp и pmg отброшены, поскольку они малы по сравнению с V X В, как это обсуждалось в § 6 и 7 гл. 3.
9,2. Уравнения для равновесного состояния
Уравнения для равновесного состояния нейтральной покоящейся плазмы получаются из одножидкостных МГД-уравнений, если в приведенных выше уравнениях положить все зависящие от времени члены равными нулю
Следовательно, в равновесном состоянии одножидкостная МГД-плазма должна удовлетворять условию
9.3« Уравнения для возмущений
Для того чтобы определить динамическое поведение плазмы в равновесном состоянии или вычислить изменения энергии, возникающие при малом отклонении от этого состояния, одножидкостные МГД-уравнения следует линеаризовать вблизи равновесного состояния. Линеаризованные уравнения для возмущений получаются путем подстановки суммы равновесных зна^
(5.9.8)
(d/dt = E0 = V0 = 0):
VPo- J°^B° -goPmo = 0, V-B0 = о, VXB0=^J0.
(5.9.9)
(5.9.10)
(5.9.11)
(5.9.12)
198
ГЛАВА 5
чений переменных и соответствующих добавок к ним в одножидкостные уравнения и последующего отбрасывания членов, содержащих произведения возмущений. Возмущенные значения переменных определяются следующим образом:
V (х, t) = V0 (X) + Y1 (х, t), V0 (X) = 0, (5.9.13)
р(х, t) = p0(x) + pl(x, t), I Pi I <с I Po U (5.9.14)
В(х, 0 = B0 (х) + B1 (х, t), IB1KIB0I, (5.9.15)
Pm (х, t) = рто (х) -f- pml (х, t), I Pmi I I Pmo |) (5.9.16)
J(х, t) = J0(X) + J1 (х, t), |Ji|<| JoI- (5.9.17)
Макроскопические гидродинамические уравнения для возмущений имеют вид
Pmo ~~Qt~ ^ VPi +-JiXBo^--JoXB1 + Pmigo» (5.9.18)
-(V1-V)Pmo-PmoV-Vi=-V-Pm0Vi, (5.9.19)
^=-(V1-V)Po-VPoV-Vi, (5.9.20)
Eix + VlXB° = 0, (5.9.21)
E« = (^vp)lll, (5.9.22)
VXE1=-If1 (5.9.23)
VxBi = ^-J1, (5.9.24)
V-B1 = O. (5.9.25)
Уравнение (5.9.20) получено комбинацией уравнений (5.9.1) и (5.9.2). Из уравнений (5.9.21), (5.9.23) и (5.9.24) можно найти возмущения магнитного поля и тока в явном виде, т. е.
-^l = V X [V1 X B0], (5.9.26)
dt
д Ji с
dt 4 л
V х [vx [V1 X B0]]. (5.9.27)
Таким образом можно выразить возмущения всех величин через возмущение скорости.
Дифференцирование уравнения (5.9.18) по времени и подстановка в него величин, выраженных через возмущения скорости с помощью уравнений (5.9.19), (5.9.20), (5.9.26) и (5.9.27), дают
Pmo 5 = V [(V1-V) Po + YPo (V -V1)] + jOXtVXtV1XB0]] +
+ 4Г <V Х [V Х [V‘ Х Во]1> Х В»~
— [(Vi-V) Pmo+ pmo (VeV1)] g0. (5.9.28)
Это дифференциальное уравнение для возмущения скорости вместе с соответствующими граничными и начальными условиями описывает динамическое поведение плазмы при малых отклонениях от допустимого равновесия в рамках одножидкостной МГД-теории. Приведенное выше уравнение служит отправной точкой при систематическом анализе устойчивости плазмы в одножидкостной модели. Можно ожидать, что решения уравнения описывают поведение плазмы, если выполнены следующие условия:
1. Квадратичные по возмущениям члены пренебрежимо малы. Это значит, что любая макроскопическая скорость V должна быть меньше скорости звука [т. Є. V < (VP/Pm)172]*
УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗМЫ; ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ РАССМОТРЕНИЕ
199
2. Плазма электронейтральна, E0 = O (т. е. гДе — хаРак'
терпый размер плазмы).
3. Отношение массы электрона к массе иона мало (т. е. TneImi 1).
4. Плазма изотропна. Это означает, что в течение характерного времени ?0 происходит много столкновений. В противном случае приведенные выше уравнения должны быть заменены на дважды адиабатические или какие-либо другие уравнения, вытекающие из соответствующей схемы замыкания.
5. Ток смещения пренебрежимо мал. Рассматриваемое МГД-приближе-ние справедливо для электромагнитных волн, если альфвеновская скорость много меньше скорости света [т. е. Va (= BiyAnpm) с]. В качестве возможного источника неустойчивости не могут рассматриваться также ленг-мюровские колебания (высокочастотные волны).
