Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
Последующее рассмотрение бсновано на оригинальной работе [6]. Предполагается, что, если существует состояние с меньшей потенциальной энергией, плазма достигает этого состояния, причем освобождающаяся энергия переходит в кинетическую. Предполагается также, что уравнения движения плазмы позволяют ей эволюционировать в сторону уменьшения потенциальной энергии.
Энергия, заключенная в объеме плазмы V, складывается из магнитной энергии FJ?2/8n и внутренней энергии плазмы Wp. Рассматривая плазму как идеальный газ (гл. 2), внутреннюю энергию плазмы можно записать в виде
Wp = J^1. (5.8.1)
Движение плазмы предполагается адиабатическим, т. е.
-If(PVy) = 0. (5.8.2)
В конфигурации, показанной на фиг. 92, силовые линии магнитного поля искривлены. Давление плазмы предполагается малым [(5 = пкТеІ(В218я) 1],
и магнитное поле в плазме почти такое же, как в вакууме. Это означает, что любое искажение поля увеличивает его энергию. Следовательно, наиболее вероятно, что плазма неустойчива к таким возмущениям, которые не изменяют магнитного поля (и которые называются желобками, потому что силовые линии не изгибаются и не перекручиваются), как показано на фиг. 92, в. Чтобы вычислить изменение потенциальной энергии системы в результате деформации, показанной на фиг. 92, в, нужно поменять местами трубки силовых линий вместе с заключенной в них плазмой из областей I и И.
Магнитная энергия, заключенная в трубке силовых линий, равна
w"=\wdv=\-s-Adl' <5-8-3>
где I — длина вдоль трубки, А — площадь поперечного сечения трубки, а интеграл берется вдоль силовой линии. Трубка силовых линий (трубка потока) определяется условием постоянства заключенного в ней потока, т. е.
Ф = BA, (5.8.4)
так что
<5-8-5»
Изменение магнитной энергии в результате взаимной перестановки трубок из объемов Vj(= j Aidl) и Vn(= j Audi) записывается следующим образом:
ли,»=ж-[(ф! J х+ФЬ J т)-
Область II Область I
-(Ф! J ?+ФЬ j f)]. (5.8.6)
Область I Область II
УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗМЫ; ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ РАССМОТРЕНИЕ 193
Наиболее неустойчивы такие деформации, которые не изменяют энергию магнитного поля, т. е. AWm = 0. Это условие соблюдается, если (P1 =
= Фц, т. е. выбор Fj и Fjx, соответствующий сохранению энергии магнитного поля, должен происходить так, чтобы значения площадей Aj и Ац выбирались, исходя из локального значения магнитного поля, согласно равенству В\А\ = ВцАц, причем А и В могут изменяться с расстоянием Z, т. е. вдоль трубки потока.
Объем, заключенный в трубку потока, можно выразить через магнитное поле В:
F= j Л<И=Ф J-?-. (5.8.7)
Изменение энергии плазмы при адиабатическом процессе равно
л І Vу Vу \
Д Wp = ^—^ ^Pi-^-Fii + /7iI-~-Fi —piFi —PnFiij . (5.8.8)
Чтобы исследовать эффект при перестановке соседних трубок потока, давление и объем можно разложить следующим образом:
Pn = Pt + Sp,
K11 = у, + tr. <5'8'9)
Изменение энергии плазмы (5.8.8), выраженное через 8F и бр, имеет вид 6tFP = 8p8F + ур® = F-vS(^Fv) SF. ('>.3 D
Для устойчивости состояния плазмы необходимо, чтобы 6JFp> 0. В обычных замкнутых конфигурациях давление плазмы максимально на оси. На краю плазмы давление должно спадать до нуля, так что, если область II лежит дальше от оси, чем область I, бр < 0. Это означает, что SlFp <0 (неустойчивость), если 8F > 0. В общем случае, поскольку ур (8F)2/F всегда положительно,
8F8p > 0 (устойчивость). (5.8.11)
Это условие является достаточным для устойчивого состояния. Условие устойчивости бF < 0 в направлении убывания плотности плазмы можно выразить в виде интеграла вдоль трубки потока, т. е.
б j Adl = Ob j -?”<0 (устойчивость). (5.8.12)
Данное условие эквивалентно утверждению о том, что, если силовые линии магнитного поля искривлены внутрь плазмы, последняя устойчива, как показано на фиг. 93. В общем случае плазменная конфигурация может содержать области как с положительным, так и с отрицательным вкладом в j dllB,
и критерий ее устойчивости будет зависеть от соотношения между этими вкладами.
Поле простого пробкотрона не удовлетворяет условию (5.8.12), и плазма в пробкотроне неустойчива по отношению к образованию желобков с точностью до ограничений, наложенных при анализе.
В магнитном поле, которое образуется при встречных токах в катушках пробкотрона х), желобковая неустойчивость отсутствует, однако скорость
х) Такая конфигурация называется антипробкотроном.— Прим. ред.
194
ГЛАВА 5
Фиг. 93. Некоторые конфигурации магнитного поля, удерживающего плазму. а — плазма гидромагнитно устойчива; б — плазма гидромагнитно неустойчива; в — плазма устойчива или неустойчива в зависимости от значения интеграла J dZ/B, причем область I оказывает стабилизирующее, а область II дестабилизирующее влияние.
потери частиц недопустимо велика, из-за того что магнитное поле на оси в середине между двумя катушками обращается в нуль.
Задача 5.8.1. Прочтите статью Розенблюта и Лонгмайра [6] и, восстановив промежуточные выкладки, покажите, что в случае анизотропного давления критерий отсутствия желобковой неустойчивости, выраженный через радиус кривизны R, принимает вид
