Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
я >0; (5.8.13)
здесь г и R соответствуют обозначениям^ принятым на фиг, 94.
Полезно вывести критерий устойчивости в форме, удобной для плаз-
менных конфигураций, удерживаемых магнитным полем с замкнутыми силовыми линиями, если воспользоваться тем фактом, что объем трубки потока
Г = (5.8.14)
Плазма в объеме У, не удерживаемая внешними силами, стремилась бы расширяться. Ho в той степени, в которой магнитное поле вморожено в плазму, поток Ф при таком расширении должен бы оставаться неизменным, так
что с увеличением объема плазмы величина ф dllB должна возрастать.
Фиг. 94. Система координат, в которой исследуется перестановочная неустойчивость анизотропной плазмы, удерживаемой магнитным полем.
R — радиус кривизны силовых линий.
УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗМЫ; ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ РАССМОТРЕНИЕ 195
На этом основании величину
dl В
(5.8.15)
можно рассматривать как «потенциальную энергию» плазмы, так что расширение плазмы соответствует переходу в состояние с меньшей потенциальной энергией. При бесконечно малом смещении трубки потока изменение ее объема записывается в виде
^r = if- (5.8.16)
Bn ~
гір
СГ
Фиг. 95. Магнитное поле прямого провода с током, рассматриваемое в качестве магнитной конфигурации для удержания плазмы.
Из уравнения состояния pVy = const вытекает, что изменение давления связано с изменением объема следующим образом:
о 6V №
bp-^—yp-—= —ур-
(5.8.17)
V ~ W
В общем случае равновесное давление есть некоторая функция р (W) и, еле-довательно, давление в той точке, куда переместилась трубка потока, равно
dp
p(W + №) = p-
dW
№.
(5.8.18)
Если давление плазмы в расширившейся трубке потока (5.8.17) больше,, чем давление (5.8.18) окружающей плазмы, трубка продолжает расширяться, т. е. она является неустойчивой. Если давление в возмущенной трубке потока меньше, чем в окружающих трубках, на нее будет действовать сила, стремящаяся вернуть ее в равновесное положение. Сравнивая возвращающую силу (dp/dW) бW с «расширяющей» силой (5.8.17) и замечая, что (dp/dW) бW — отрицательная величина, можно считать, что плазма устойчива, если
-W (-?)>¦? W
или просто (предполагая 8W < 0 при расширении)
(устойчивость). (5.8.10)
Это условие тождественно условию 6VFp>0 [см. (5.8.10)], из которого имеем для устойчивости бр > —ур (бУ)/7, поскольку W = — У/Ф. Отсюда опять видно, что расчет баланса сил в возмущенном состоянии дает такую же информацию об устойчивости, как и вычисление изменения энергии при возмущении. В качестве примера применимости полученного критерия устойчивости можно рассмотреть плазму, удерживаемую полем, создаваемым током, текущим по прямому длинному проводу (фиг. 95). В этом случае магнитное поле записывается в виде
Cr
(5.8.20)
где I0 — сила тока в системе СГС (B0 = 0,2 I0Ir, если I0 измеряется в амперах, a B0 — в гауссах). Потенциальная энергия равна
dl пг2с
W
Si M
т—-
Таким образом, критерий устойчивости принимает вид
г dp
196
ГЛАВА 5
Итак, если давление убывает с расстоянием от проводника с током I0 быстрее, чем г-10/3, то конфигурация на фиг. 95 будет неустойчивой по отношению к адиабатическому (у = 5/3) расширению.
Задача 5.8.2. Покажите, что критерий отсутствия желобковой неустойчивости для плазмы с низким (3, удерживаемой дипольным магнитным полем, имеет вид
.
Po dr
Предположите, что силовые линии могут свободно перемещаться и не закреплены по отношению к диполю. Объясните смысл этого предположения. Выполняется ли это условие устойчивости для частиц, захваченных радиационными поясами Земли?
Из условия (5.8.19) вытекают интересные следствия. Ясно, что в системе, находящейся в состоянии истинного термодинамического равновесия, давление максимально в точке с наименьшей потенциальной энергией (в противном случае она расширялась бы так, чтобы уменьшалась энергия W). В течение времени, когда систему можно считать бесстолкновительной, она может изменить свое состояние (например, в сторону истинного равновесия) лишь за счет коллективных движений (неустойчивостей). Поэтому выражение (5.8.19) означает, что даже тогда, когда давление увеличиваетсяв направлении от точки с наименьшим потенциалом, система может быть устойчивой только при условии, что рост функции р (W) достаточно плавный. Ситуация в случае бесстолкновительных временных масштабов отличается тем, что плазма привязана к магнитному полю, по крайней мере в процессе низкочастотных движений, рассматриваемых в МГД-теории, так что поле В влияет на многие движения в плазме. В случае когда играют роль столкновитель-ные временные масштабы, плазма диффундирует поперек поля В и достигает состояния с минимальной потенциальной энергией без необходимости «перестановки трубок потока» и пр.
§ 9. МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ, ОПИСЫВАЮЩИЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКУЮ УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗМЫ, УДЕРЖИВАЕМОЙ МАГНИТНЫМ ПОЛЕМ
Для изучения гидродинамической устойчивости плазмы, удерживаемой магнитным полем, используют макроскопические гидродинамические уравнения электронейтралыюй изотропной плазмы с идеальной проводимостью. Несмотря на то что эти уравнения описывают плазму далеко не полностью, трудно получить их детальное решение, кроме случаев с простыми плазменными конфигурациями.
