Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
В02(х) + 2[В0(х).B1(X)]. (5.11.15)
Разлагая равновесное магнитное давление на смещенной границе относительно его значения на равновесной границе, можно получить
B02 (X) = B02 (X0) + (S-V) B02 (X0). (5.11.16).
С точностью до членов первого порядка малости
B0 (X)-B1 (X) = B0 (X0)-B1 (х0). (5.11.17>
Одно из двух граничных условий, которым должны удовлетворять возмущенные значения переменных на равновесной границе S0, можно получить, подставляя разложения (5.11.13), (5.11.14) и (5.11.17) в (5.11.12) с учетом условия непрерывности (5.11.11) для полного давления на границе. Это граничное условие имеет вид
- У Po (X0) V • 1 + Во<Хо)4'лВі (Хо) + Sn -Jr B02 (X0) =
= В°(?4#:-(Х0> +Sn-JrB^(X0), (5.11.18).
где использован тот факт, что Op0Idxц = 0. Второе граничное условие, которому должны удовлетворять возмущения на границе плазма — вакуум*, можно получить из условия непрерывности тангенциальной компоненты электрического поля на неподвижной границе. Отсюда следует, что тангенциальная компонента электрического поля Ej должна быть непрерывной при переходе через движущуюся со скоростью V1 границу, если вектор Wz определен в системе координат, движущейся вместе с границей со скоростью V1. Из преобразования электрического поля в неподвижную систему координат следует непрерывность при переходе через границу величины
(EJ)t+ (5.11.19)
где E1 и B0 — поля в лабораторной системе координат. Закон Ома для идеально проводящей плазмы требует, чтобы
E1-J--vi^bo =0.
1 С
Тогда с помощью (5.11.19) можно показать, что условия
По X E',—i-(V1-S0)B; (5.11.20)
должны выполняться как на возмущенной, так и на равновесной границе, поскольку величины EJ и V1 х В' уже первого порядка малости по На основании уравнения Максвелла
тангенциальную компоненту электрического поля можно выразить через нормальную компоненту магнитного поля и, следовательно, уравнение*
УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗМЫ; ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ РАССМОТРЕНИЕ
207
(5.11.20) можно записать также в виде
i0.B;=vivx [Iхв;]]. (5.11.21)
Граничные условия на поверхности раздела плазма — вакуум связывают решения плазменных уравнений с решением уравнений Максвелла в вакуумной области. В вакууме электрическое и магнитное поля могут быть выражены через векторный потенциал А следующим образом:
^ = (5.11.22).
в; =v X А; (5.11.23)
здесь выбрана калибровка V eA = 0. Поскольку в вакуумной области токов нет,
VXVXA = O. (5.11.24)
Граничное условие (5.11.21) для векторного потенциала записывается в виде
п0 X А = (п0.|) В;. (5.11.25)
На твердой проводящей стенке граничные условия для электромагнитных полей, выраженные через векторный потенциал, имеют вид
пш х A = 0. (5.11.26)
Запишем дифференциальное уравнение движения жидкого элемента [согласно (5.11.5)]
Pmo 5 = F (5.11.27)
здесь функция F (|), определяемая выражением (5.11.6), линейна по | и не содержит производных по времени, а К — оператор, определяемый, согласно (5.11.27), функцией F (S), т. е. из (5.11.6). Собственные значения рассматриваемого дифференциального уравнения находим, предполагая, что решение имеет вид
6(x,f) = S(X)*-**, (5.11.28)
и решая затем уравнение для собственных значений
-CD2Pw0I=F(S) (5.11.29)
с учетом соответствующих граничных условий.
Решения соответствуют собственным колебаниям плазмы и в зависимости от знака мнимой части собственной частоты эти колебания являются либо стационарными, либо затухающими, либо неустойчивыми (т. е. нарастающими во времени). В рамках гидродинамической модели плазмы оператор К самосопряженный, следовательно, квадрат собственной частоты либо положителен (со2 > 0 соответствует устойчивой моде), либо отрицателен
(со2 <0 соответствует неустойчивой собственной моде).
Задача 5.11.1. Прочтите статью [8] и покажите, что К — самосопряженный оператор. Опустите в выражении для К слагаемое g0 (VePmoS)-
Поскольку оператор К самосопряженный, уравнение для собственных значений
CO2PmoS=K-S (5.11.30)
208
ГЛАВА 5
можно решить, используя вариационный принцип, т. е. считая б (о2) = 0, где
Г S-K-Idx
(02 = -і-5--5—. (5.11.31)
і PmoS-Sdx
Знаменатель выражения (5.11.31) представляет собой положительно определенную величину, поэтому знак со2 совпадает со знаком числителя. Для того чтобы убедиться в важности этого знака, будем считать, что уравнение (5.11.30) есть уравнение движения осциллятора с упругой константой К и массой рт0. Потенциальная энергия такого осциллятора
SW = Ijl-K-Idx. (5.11.32)
Таким образом, гидромагнитную устойчивость плазмы можно определить, вычисляя изменение потенциальной энергии, возникающее в результате
отклонения решения на малую величину | от решения, соответствующего
допустимому равновесному состоянию. Если бW > 0, то плазма устойчива; если бW <0, то плазма неустойчива.
Потенциальная энергия, связанная с малым отклонением от равновесия, допустимого с точки зрения МГД-уравнений, имеет вид [6—8].
6W = Y J {їРо (V-I)2 +-?- +(I-V) PoV-I-
Объем плазмы
