Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
2) Заметим, что этому условию всегда можно удовлетворить, перейдя, например, в систему координат, движущуюся со скоростью V = (V0ol — F0^)/[1 + сора/о)рр)].— Прим. ред.
184
ГЛАВА 5
У
4.0
3.0
2.0
10
-UO
и безразмерную частоту
х- Ю FP°~F«° /5 5 9ч
cdP Vpo+ VaQ
Удобйо также выразить волновое число следующим образом:
* = Т7 + *-
(5.5.10)
Тогда дисперсионное уравнение (5.5.6) принимает простой вид
1
W = 1-(5-5.11)
Фиг. 87. График функции у2 = (х2 +1) + ±(4х2 + I)1''2.
волны нара-
(*—I/)2
Решение этого уравнения четвертой степени записывается следующим образом:
у* = х2 + I ± (4х2 + I)V2. (5.5.12)
Видно, что у2 < 0 при X2 < 2, т. е.
стают.
Это решение г/2 (ж2) графически представлено на фиг. 87*). Оно имеет две ветви. Для верхней ветви у2 > 0 при всех X2 > 0, и поэтому комплексные значения & отсутствуют. Эта ветвь соответствует двум внешним действительным корням на фиг. 86. Для нижней ветви у2 < 0 при 0 < х2 < 2, поэтому к имеет два комплексно-сопряженных корня. Эта ветвь в случае X2 < 2 соответствует корням, показанным вертикальной штриховой линией на фиг. 86, б, и в случае х2 > 2 — двум внутренним корням на фиг. 86, а.
В области 0 < я2 < 2 имеем у2 < 0 и, следовательно, г/ — мнимая величина. Одно значение у соответствует пространственно нарастающим, а другое — затухающим волнам. Максимальная частота, при которой еще имеется пространственно нарастающая волна, равна
т/у«о + У&о -Vp0
COiw
(5.5.13)
здесь (Op — частота, определяемая соотношением (5.5.8). В случае когда скорости пучков отличаются незначительно, максимальная частота, при которой существуют пространственно нарастающие волны, может во много раз превышать плазменную частоту. Энергия волны, генерируемая посредством описанного выше механизма, может переноситься по плазме в виде электромагнитной волны, если в плазме существует какой-нибудь механизм, связывающий рассмотренные электростатические моды с электромагнитными модами.
Максимальный пространственный инкремент имеет место на частоте
(5.5.14)
CO
макс. инкр"
/ ^aOT ^ 00 \
VVao-Vfio )
и равен
К макс —
yjPOL
c0Pli
2VP0
(5.5.15)
2^о I 2Fa0
На фиг. 88 приведена зависимость пространственного инкремента от безразмерной частоты. Можно заметить, что эта модель взаимодействия двух потоков предсказывает наличие пространственно нарастающей волны
х) Изображенная здесь кривая является просто квадратичной параболой.— Прим-
ред.
УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗМЫ; ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ РАССМОТРЕНИЕ 185
Vofi+Чъ
Фиг. 88. Зависимость нормированного пространственного инкремента двухпотоковой неустойчивости от безразмерной частоты.
в области низкой частоты. Описанный здесь механизм двухпо-токовой неустойчивости был доказан экспериментально Пирсом и Хейбенстритом [3]. Двухпотоковая неустойчивость многократно и подробно исследовалась экспериментально и теоретически *).
Рассмотренный пример двухпотоковой неустойчивости показывает, как выбор частной модели влияет на получаемые результаты. При изучении плазменных колебаний в гл. 4 было удобно считать ионы неподвижными (ті = оо), так что движение ионов не учитывалось в уравнениях. Такая простая модель может, очевидно, правильно объяснить свойства высокочастотных длинноволновых плазменных колебаний при условии, что ионы и электроны в среднем покоятся по отношению друг к другу. Эта же самая модель неподвижных ионов использовалась в гл. 4 для изучения волн пространственного заряда, связанных с дрейфующими электронами. То, что модель с неподвижными ионами не дает полного описания дрейфующих электронов, можно показать на основании приведенного выше анализа двухпотоковой неустойчивости. Действительно, рассмотренный выше анализ двухпотоковой неустойчивости можно было бы обобщить на случай ионов и электронов, движущихся относительно друг друга, простым переобозначением: COpa =- AnniQe2Imi, Va0 = Vio, (0? = 4ппе0е2/те и Ff30 = Ve0. Учет движения ионов под действием электрического поля, созданного скоплением зарядов (считаем Vio = 0), приводит к появлению низкочастотных пространственно-неустойчивых волн [4] с частотами ниже ионной плазменной [т. е. решение уравнения (5.5.6) дает UiVe0 = (о ± (йре/У I — сорг/со2], отличных от высокочастотных волн пространственного заряда, связанных с дрейфующими электронами. Предположение о неподвижности ионов (сор; = 0) исключает эти неустойчивые волны, потому что в рамках такого предположения вклад ионов в возмущение электрического поля равен нулю и ограничивает справедливость рассмотрения областью высоких частот. Кроме того, приближение холодной плазмы требует, чтобы выполнялось неравенство kvTlсо < 1, которое означает, что Ve0 > УTiTeIme. Таким образом, можно было бы ожидать, что лабораторная плазма, в которой электроны движутся относительно ионов с большей скоростью, чем их тепловая скорость, неустойчива, если бы только на это не влияли какие-либо другие причины (например, конечные размеры). Дальнейшее обсуждение двухпотоковой неустойчивости мы приведем в § 3 гл. 9, уделяя при этом особое внимание временной неустойчивости.
