Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
[|Х [V X Bo]].Q}(fc+JL j в.Bdx-
Объем вне плазмы
4 J <511'33>
Поверхность плазмы
Задача 5.11.2. Докажите, что уравнение (5.11.32) следует из постоянства полной энергии плазмы, а также из самосопряженности оператора К, т. е.
j TJ-K-I dx = j I-K -n dx; (5.11.34)
здесь I и Tj — малые отклонения от допустимого равновесия, которые вместе с соответствующими векторными потенциалами удовлетворяют граничным условиям (5.11.25) и (5.11.26) на границе плазма — вакуум и на проводящей стенке соответственно.
Задача 5.11.3. Проверьте равенство (5.11.34).
§ 12. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ПЛОСКОЙ
ГРАНИЦЫ ПЛАЗМА — МАГНИТНОЕ ПОЛЕ НА ОСНОВАНИИ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО ПРИНЦИПА
Рассмотрим равновесную плазму, как показано на фиг. 99. Плазма удерживается в полупространстве х <0 магнитным полем B0. Поле равно нулю внутри плазмы и постоянному значению B0 = B0z при х > 0, т. е. в вакууме. Токи в плазме текут только по поверхности, граничащей с вакуумом. Изменение потенциальной энергии в результате возмущения равновесного состояния можно вычислить из выражения (5.11.33), которое в данном случае упрощается и принимает вид
J VPo (V-I)2 dx + -L j Bi• B1 dx +
VP(5C<0) Vm(*>0)
+ —
^ 16я
S(X=O)
+ж j jSiG-"")2* <512Л>
УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗМЫ; ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ РАССМОТРЕНИЕ
209
(здесь интегралы берутся по Vp — объему плазмы, по Vm — объему, занимаемому магнитным полем, и по S — поверхности раздела плазма — вакуум).
Из вида первого члена в выражении (5.12.1) ясно, что вклад в изменение потенциальной энергии, связанный с возмущением I внутри объема, занятого плазмой, либо положителен, либо равен нулю. Следовательно, первый интегральный член оказывает стабилизирующее влияние, за исключением таких возмущений, для которых VeI =
= 0. Эти возмущения возможны в плазме с низкими значениями (3 и в плазме с у —оо (§ 10). Они наиболее опасны с точки зрения устойчивости плазмы, поскольку менее значительный третий член, оказывающий дестабилизирующее влияние, приведет к неустойчивости плазмы. Второй член в (5.12.1) всегда положителен и является стабилизирующим. Он описывает изменение запасенной магнитной энергии при возмущении вакуумного поля, связанной с удерживающим магнитным полем. Вследствие того что первые два члена в выражении (5.12.1) положительны, плазма должна обладать гидромагнитной устойчивостью в любой удерживающей конфигурации, для которой дВ'^/дп > 0, т. е. в которой величина магнитного поля возрастает по мере удаления от границы плазмы. Простым примером такой конфигурации является антипробкотрон — конфигурация с точкой нулевого поля, которая создается парой катушек, расположенных и несущих ток так, как показано на фиг. 100. В каждой точке поверхность можно рассматривать плоской, как в случае границы на фиг. 99. Силовые линии магнитного поля всюду вогнуты внутрь плазмы, поэтому напряженность поля возрастает по мере удаления от плазмы и поверхность устойчива. (По мере расширения плазма должна совершать работу по сжатию магнитного поля.) Точно к такому же заключению мы пришли при непосредствен-
Плазма
Po
''"--4?';'. .'V-'. &:J;}
Магнитное поле
В
'2
Ро(х<0)=Ш~(х>°)
%
Фиг. 99. Схематическое представление плазмы, которая занимает левое полупространство и удерживается магнитным полем, имеющимся в правом полупространстве.
Фиг. 100. Схематическое представление конфигурации магнитного поля в антипробко-
троне.
Плазма удерживается магнитным полем, силовые линии которого изгибаются внутрь плазмы в каждой ее точке; И — ток направлен на читателя, И — ток направлен от читателя.
210
ГЛАВА 5
ном вычислении условий существования перестановочной (желобковой) неустойчивости (§ 8), где показали, что в областях, в которых силовые линии изогнуты внутрь, плазма устойчива. Хотя антипробкотронная конфигурация обладает гидромагнитной устойчивостью, у нее имеется нежелательное свойство, состоящее в том, что магнитное поле обращается в нуль в некоторой точке на оси между двумя катушками. Область с нулевым магнитным полем ведет себя подобно дыре в магнитной бутылке, что приводит к быстрому уходу плазмы. Иоффе и др. [9] показали, что можно реализовать конфигурацию магнитного поля *), в которой дВ,2!дп > 0 и нет области с нулевым магнитным полем, и что такое поле также подавляет гидромагнитные неустойчивости. Их эксперименты подробно обсуждаются в разд. Г настоящей главы.
Если OBt02Idn <0, то плазма может быть неустойчивой. Для изучения этой возможности рассмотрим конфигурацию, представленную на фиг. 99, и предположим, что возмущение границы плазма — вакуум имеет вид
[(п0 = х), (в; = в'0і)]
Ix = IveikWe^. (5.12.2)
Согласно граничному условию (5.11.21),
B'ix = lxkzB'0. (5.12.3)
Уравнение (5.12.3) связывает амплитуду одной из компонент возмущения магнитного поля на границе плазма — вакуум с амплитудой смещения и невозмущенным магнитным полем в вакуумной области. Чтобы вычислить изменение энергии, связанное с возмущением магнитного поля, нужно оценить второй член в выражении (5.12.1), а именно
