Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
-SS-Jb1-B ,dx. (5.12.4)
Из уравнений Максвелла для вакуумной области следует, что
k X [к X B1J=O (5.12.5)
и
к. B1 = O, (5.12.6)
здесь мы использовали предположение о том, что B1 = Biexp(Jk-X). Из уравнений (5.12.5) и (5.12.16) имеем
Icx = і Vk + к\. (5.12.7)
Поэтому _______
B1-B1 — (I Bix I2 +1 Biy I2 +1 Biz р) ехр (—2 Vку + к\х). (5.12.8)
Кроме того, из уравнений (5.12.6) и [к х B1Ijc = 0 следует, что
B1-B1 = 2 I Bix I2 ехр ( - 2 УЖ+Цх) = 2l*B’*kl ехр (— 2 Vkiu + U11 х). (5.12.9)
Таким образом,
-L Г B1-B1^x= ( —(5.12.10)
8я J 1 1 J 8я Vk*+к* К ’
Объем Поверхность J
Изменение потенциальной энергии на единицу площади поверхности (для возмущений с V-I = O) записывается в виде
х) Соответствующая конфигурация магнитного поля носит название магнитнои ямы или конфигурации с минимумом ноля В. Прим. ред.
УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗМЫ; ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ РАССМОТРЕНИЕ 21 1
Если кг мало, то к перпендикулярно B0 и критерий неустойчивости сводится к неравенству OBf02Idn «<0. Наиболее неустойчивая ситуация имеет место при кг = 0, т. е. для возмущений, которые не зависят от координаты в направлении магнитного поля. При этом возмущения имеют вид желобков. Неустойчивость плазмы относительно данного возмущения при дВ'21дп <0 объясняется тем, что плазма перемещается в область, в которой ее давление р0 больше магнитного давления и, следовательно, возмущение нарастает.
Таким образом, удерживаемая магнитным полем плазма обладает гидромагнитной устойчивостью, если силовые линии магнитного поля изогнуты внутрь плазмы во всем ее объеме. Если же силовые линии всюду изогнуты наружу от плазмы, то имеет место гидромагнитная неустойчивость.
§ 13. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ САМОУДЕРЖИВАЕМОЙ ПЛАЗМЫ (Bz - 0) НА ОСНОВАНИИ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО ПРИНЦИПА
Во многих отношениях линейный пинч был бы простейшей схемой удержания плазмы, если бы его плазма была устойчивой и можно было бы справиться с проблемой торцевых электродов. Его особая простота связана с тем, что магнитное поле, удерживающее плазму, создается токами в плазме. Таким образом, нам не придется иметь дело с довольно значительными механическими силами, связанными с магнитными полями, которые создаются внешними проводниками с током. К сожалению, плазма простого пинча неустойчива по отношению к разнообразным возмущениям. Для простоты предположим, что плазма заполняет проводящий цилиндр радиусом а. Условие равновесия принимает вид
<5ЛЗ-'>
В таком равновесии по предположению отсутствуют токи вне плазмы, т. е. пет никаких внешних магнитных полей. Чтобы проверить устойчивость такого равновесия, выберем возмущение, имеющее в цилиндрических координатах следующий вид:
|(г, 0, z) = I0 (г, z)eimQ. (5.13.2)
13.1. Азимутально-симметричное возмущение (т = 0)
Изменение потенциальной энергии при азимутально-симметричном возмущении имеет вид
W-H
+ ^[4"3Г№>+¦§-]+ 5'[-#- + ?жал»]} *• (5.13.3)
Подынтегральное выражение в (5.13.3) представляет собой квадратичную форму по переменным \Г и VeI- Эти переменные независимы, поскольку независимы ?г и ?z.
Квадратичная форма от нескольких переменных (такая, как ^CLijXiXj) является положительно-определенной, если все главные миноры матрицы CLiJ положительны *). Указанный критерий, примененный к выражению (5.13.3) вместе с условием равновесия
уро +IVXB^XB5 = Oi
х) В данном случае это означает, что форма а (V-|)2 + Ь%г (V-|) + является положительно-определенной, если 62 < 4ас и а > 0.
212
ГЛАВА 5
позволяет получить следующий критерий устойчивости:
—^inL<~2+W (Устойчивость)’ (5.13.4)
где р = р0/(В1/8п). Неравенство (5.13.4) показывает, что для устойчивости плазмы давление должно не слишком быстро убывать с радиусом. Следует отметить, что, вообще говоря, |3 зависит от радиуса. Уравнение (5.13.1) связывает |3 (г) с р0 (г). Условие равновесия (5.13.1) можно преобразовать следующим образом:
= TTp (І^~2) (Равновесие). (5.13.5)
Наиболее неустойчивые моды присущи плазме с низким (3. В случае низких |3 УСТОЙЧИВЫМ является распределение ПЛОТНОСТИ, при котором Pо ~ l/r2v. Распределение, в котором плотность быстрее спадает с радиусом, неустойчиво. Неустойчивость, возникающая при нарушении критерия (5.13.4), соответствует перестановочной моде, когда плазма поджимается радиально в некоторой точке по оси х). Поджатие плазмы приводит к локальному увеличению BI, что в свою очередь ведет к дальнейшему нарастанию возмущения.
13.2. Возмущение с азимутальной зависимостью (т Ф 0)
Без потери общности компоненты возмущения | можно записать в виде
Ir=Ir (г) Sin 7710 eikzZ, (5.13.6)
?0 = H0 (г) cos ттг0 eihzz, (5.13.7)
Iz = Iz (г) Sin 7710 eihzz. (5.13.8)
При таком выборе упрощается вычисление 8W с помощью (5.11.33), поскольку множители sin2 0 и cos2 0, усредняясь при интегрировании, заменяются на 1/2. Компонента смещения вдоль магнитного поля входит только в первый член в выражении (5.11.34), и, если т Ф 0, можно выбрать таким образом, чтобы VeI = 0. Для таких возмущений выражение для изменения потенциальной энергии совпадает с (5.13.3), отличаясь лишь тем, что член YP0(VeI)2 заменяется на
