Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
Энергетический принцип представляет собой метод исследования устойчивости плазмы, удерживаемой магнитным полем, который не требует решения задачи о собственных частотах и нормальных колебаниях. Он основан на исследовании изменения потенциальной энергии, связанного с малыми отклонениями от предполагаемого состояния равновесия.
Удобно выразить малые отклонения от равновесного состояния через лагранжевы координаты смещенного элемента жидкости, как показано на фиг. 98. Координата элемента жидкости в момент времени t обозначена через х0 (?). Смещенное положение того же элемента обозначено через х (?):
Поскольку член (I-V) V1 второго порядка малости по возмущенным переменным, его можно отбросить. Тогда
Это означает, что в первом порядке представление Эйлера, рассматривающее движение жидкости с помощью переменной V1 (х, t), когда следят за изменением во времени скорости движения в данной точке пространства по мере того, как жидкие элементы проходят через эту точку, совпадает с представлением Лагранжа, когда следят за изменением во времени смещения данного жидкого элемента. Таким образом, в представлении Лагранжа
На этом основании можно заменить эйлерову скорость V1 (х, t) в уравнениях
X (t) = X0 (0 + I (х0, i), I X0 I > I I |, I (х0, 0) = 0. (5.11.1)
Скорость жидкости, выраженная через |, имеет вид
V1 (х, t) = V1 (х0, t) + (I-V) V1 (х0, і) + ... , (5.11.2)
V1 (х, t) = V1 (х0, t).
(5.11.3)
V1 (х0, t) = ^-|(х0, t).
(5.11.4)
для плазмы на лагранжеву скорость | (х0, ?), определенную выше.
Фиг. 98. диаграмма, иллюстрирующая определение лагранжевых координат смещения жидкого элемента.
Q = VXflX B0]. (5.11.7)
УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗМЫ; ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ РАССМОТРЕНИЕ 205
Решение данного дифференциального уравнения с соответствующими начальными и граничными условиями определяет смещение |, которое в свою очередь дает возмущение скорости и, следовательно, зависящие от нее возмущения, а именно P1, pml, B1, Ji и E1.
Помимо начальных условий для | и | = Vs, дифференциальное уравнение (5.11.5) должно быть снабжено соответствующими граничными условиями. Наибольший общий интерес представляет равновесное состояние плазмы, когда плазма граничит с вакуумом. В общем случае вакуумная область окружена замкнутыми идеально проводящими твердыми стенками с достаточно простой топологией. Такая идеализация редко реализуется в обычной экспериментальной практике, однако она обеспечивает удобные граничные условия для математической формулировки проблемы устойчивости.
Если в эксперименте между плазмой и твердой проводящей стенкой отсутствует вакуумная область, граничные условия упрощаются и сводятся к требованию равенства нулю тангенциальной компоненты электрического поля на стенке, т. е.
^XE1 = O; (5.11.8)
здесь nw — единичный вектор внешней нормали к проводящей стенке. Тогда
из закона Ома следует, что тангенциальная компонента вектора IX B0 также должна быть равна нулю* т. е.
Uw X ІІ X B0] = (nw. B0) і — (nw • і) B0 = 0. (5.11.9)
Если B0 параллельно стенке, то Dilo-B0 = 0 и граничное условие принимает вид
Uw-I = O.' (5.11.10)
Таким образом, нормальная компонента | на стенке должна обращаться в нуль.
При рассмотрении более общей конфигурации плазмы, окруженной вакуумом, предполагают, что существует равновесная поверхность S0, разделяющая плазму и вакуум. Предполагают также наличие поверхностных токов, текущих по этой границе раздела, так что возможен конечный скачок давления плазмы и магнитного поля при переходе через поверхность раздела. Такое рассмотрение является идеализацией тонкого переходного слоя между плазмой и вакуумом. В равновесном состоянии граница раздела совпадает с поверхностью постоянного давления, поэтому нормальная компонента равновесного магнитного поля должна быть равной нулю на поверхности S0. Согласно уравнению (5.9.34), полное давление при переходе через равновесную границу должно быть непрерывным, т. е.
Po (X0) + ^ = 5 (5.11.11)
здесь X0 принадлежит поверхности S0, а переменные со штрихом относятся к вакуумной области. Точка на возмущенной границе имеет координату х = X0 + п0|п, где X0 — точка на невозмущенной поверхности S0, п0 — единичный вектор внешней нормали, а (п0*|) = ?п — компонента смещения, нормальная к S0 в точке х0. На возмущенной границе полное давление также должно быть непрерывным:
Po (X) + P1 (X) + JL [B0 (X) + B1 (X)]* = JL [В; (X) + в; (х)]*. (5.И.12)
Разлагая равновесное давление на возмущенной границе относительно его значения на равновесной границе, можно получить
Po(х) = Po(X0) + (X-X0)• VPo(X0) + ... = Po(X0)+ i„n0*VPo(X0)+ ..., (5.11.13)
206
ГЛАВА 5
поскольку X —x0 = ?nn0. Удобно ввести производную по нормали д!дп = = D0Vx0* Заменяя V1 на d\!dt в уравнении (5.9.20) и интегрируя результат по времени, можно показать, что на возмущенной границе возмущение-давления связано со смещением | следующим образом:
Pi (х) = -I-Vp0 (х) — vp0(x)V-l. (5.11.14)
Магнитное давление с точностью до членов первого порядка малости равно*