Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
Iim \ Na (х, V, t) dx d\
dx.dv-*О J
равен единице или нулю в зависимости от того, находится ли частица в точке с координатами х, у в момент времени t или нет. Удобно ввести векторы шестимерного фазового пространствах = (х, у), такие, чтоЛга(х, v, t) = = Na (X, t) = Se [X - Xi (?)] и d\= dx d\. Очевидно, величина
г
Na = j Na (х, у, t) dX равна числу частиц сорта а в системе. Электрические и магнитные поля, создаваемые частицами, удовлетворяют уравнениям
V• Em = 4 л 2 q* { Na(X, t)dv, (7.1.2)
а
VxBM = T^EM + ir2^ J viVa (X, t) d\, (7.1.3)
а
vxE«= IAbMj V*Bm = 0,
в которых верхний индекс M означает, что рассматриваемые поля являются микроскопическими. Как и в обычной теории электромагнитного поля,
уравнения V'EM = 4^^]qa\Na (X, t) d\ и у Bm = 0 могут рассматри-
а J
ваться как «начальные условия»: если они выполняются в момент t = 0, то они справедливы в любой момент времени t ^ 0 при условии, что выполнены два других уравнения Максвелла.
Уравнения движения каждой частицы
^L = Vi, -^Tl = - (Em+VfXBM )' (7.1.4)
dt 1 dt пц \ с / '
замыкают описание системы. Штрих в (7.1.4) указывает на то, что для вычисления силы, действующей на і-ю частицу, не нужно учитывать поля, создаваемого этой частицей, т. е. (VeEf)' = 4я2#а S ^ (X — Xj-). Записанные
CL
уравнения дают точное, хотя и не очень плодотворное описание системы большого числа частиц.
Из уравнений движения (7.1.4) нетрудно получить уравнение
мг.(х.о +у. дМфі)+_^_ jEM+ (7.1.5)
определяющее эволюцию Na (х, у, t). Это уравнение называется уравнением Климонтовича — Дюпри. Его можно записать в виде dNJdt = 0, т. е. в виде условия сохранения числа частиц в фазовом пространстве. Однако Na (х, у, ?) еще не представляет собой статистическую функцию. В ней содержится точная информация о местонахождении всех частиц. Статистическое описание мы получаем после усреднения рассмотренных микроскопических уравнений.
Задача 7.1.1. Используя уравнения движения (7.1.4) и определение функции Na (х, у, t), покажите, что Na (х, v, t) удовлетворяет уравнению (7.1.5).
282
ГЛАВА 7
§ 2. СТАТИСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМЫ МНОГИХ ТЕЛ
Микроскопическое состояние плазмы или любой другой системы многих тел полностью определяется координатами и скоростями всех частиц. Точно так же статистические свойства такой системы полностью описываются функцией распределения ее частиц (см. также гл. 3). Определим функцию распределения следующим образом. Пусть величина
Fn (Xai ? • • • ? ^aN ’ ’ * * * ’ ^ fSN^ ’ * * * ’ ^
X dXa2 ... dX^ JXp1 ... dX л ... (7.2.1)
rX P
есть вероятность того, что в момент времени t координаты и скорости частиц принимают значения Xal, Xa2t .. .,Xajva, Xpi, . . ., Xpjvp, ... в окрестности dXal. . .dXafia, ^X151 ... dXpjvp; величина TV = ^Na равна полному
а
числу частиц в системе.
Если система находится в термодинамическом равновесии, то функция F N представляет собой распределение Гиббса D (т. е. Fn = Z)), рассмотренное в гл. 2. В общем случае Fn не равно D, поэтому основную часть излагаемого ниже материала мы посвятим неравновесным статистическим системам, изучению эволюции Fn во времени при заданной начальной функции распределения Fn (0). Функцию Fn можно рассматривать как плотность распределения в біУ-мерном фазовом пространстве системы; она удовлетворяет уравнению Лиувилля для системы, состоящей из N частиц,
DFn ____ dFN , V 7, OFn , ^ ^ dFN п
Dt dt ' 1 Oxi Za Ovi ~~
і г
которое описывает просто закон сохранения плотности распределения вдоль траекторий в фазовом пространстве. В статистической механике трудно непосредственно пользоваться уравнениями, содержащими координаты и скорости всех частиц. На этих уравнениях базируется вывод более простых методов описания плазмы, использующих приведенные функции распределения. Поскольку Fn есть плотность распределения вероятности, ее нормировка записывается в виде
^ Fjv dXal ... dXaj^ JXp1 ... dXp^ ... c?Xvl . .. dX^ =
= Jfjv n dX=1-
По всем частицам
Приведенные функции распределения получаются интегрированием (7.2.1) по координатам всех частиц без одной, двух, трех и т. д. Приведенные функции распределения зависят от меньшего числа переменных, чем Fn, и их проще изучать, но, конечно, в них содержится гораздо меньше информации о системе, чем в полной функции Fn.
Одночастичная функция распределения определяется как плотность частиц одного сорта в фазовом пространстве:
/a (Xai, Vau t) = V f Fn dXai ... dXajj ЇТ ^Xp1 ... dXm . (7.2.2)
J “p p
Здесь V — объем системы. Следовательно, величина (I/V)fa (х, у, t) dX есть вероятность найти частицу сорта а в окрестности dx d\ точки с координатами (х, у). Эта одночастичная функция распределения дает наиболее упрощенное описание плазмы. Ясно, например, что вероятность найти элек-
КИНЕТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПЛАЗМЫ
283
трон в точке X зависит от присутствия иона или другого электрона в точке х' ^ х, однако эта информация не содержится в fa. Информация о влиянии соседних частиц содержится в менее упрощенном описании, например в двухчастичной функции распределения
