Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
(7.3.5) и т. д. состоит в пренебрежении всеми членами порядка g. В этом приближении кинетическое уравнение для функции распределения плазмы имеет вид
(¦|_ + v'V + "^E‘Vv) ^“(х’ v’*) = 0’ (7.5.1)
причем
V -E = 4л 2 nO.Ча j fadx;
а
здесь V = д/дх и Vv = д/д\. Это замкнутое уравнение для /а называется уравнением Власова [1], а иногда бесспголкновителъным уравнением Вольц-
288
ГЛАВА 7
мана. Взаимодействие между частицами в уравнении Власова учитывается только членом с Е, представляющим собой среднее электрическое поле, которое создается в точке х частицами плазмы и которое вычисляется самосогласованным образом с помощью уравнений Максвелла. Данное приближение с самосогласованным полем возникло естественным образом из разложения точных уравнений в ряд по плазменному параметру. Его можно обобщить на случай, когда рассматриваются магнитные поля и поля от внешних источников, следующим образом:
[4- + v-V + ^ (Е+^!®-) * Vv] /а (х, V, г) = 0,
V • E = 4л 2 МаЯа ^ /а d\ -f- 4ярВНеШ ,
а
„ „ n 1 SE , 4я — С , , , An , (7.5.2)
VxB-------— I — naqa J v/а d\ -] — Двнеш»
а
т-7 и 1 дВ
VxE=-T 1Г-
Несколько следующих глав мы посвятим методам решения уравнения Власова и изучению с его помощью поведения плазмы в течепие небольших
ЮТреЗКОВ времени: Тколлек ^столк*
§ 6. КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ПЕРВОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ
Более полную систему уравнений по сравнению с (7.5.2) можно получить, используя оценки (7.4.3), если сохранить в цепочке члены порядка g. В этом приближении пренебрегают корреляциями gapY, и соответствующая цепочка кинетических уравнений первого порядка записывается в виде
(4 + V-V + ^E-Vv)/a(x,V,*) = 2^J^X
х j (v IT=Ff ) Vvga|}(х> х'> V, V', t)dx'dv', (7.6.1) [-^- + V» Vx + v' • Vx' + E (х, 0-Vv+-^-E(x', O-Vv*] grt (х,х', t) -
- S J W (X', X-) V, . v./. (X, л- -
V
- S -?- j (^-frSr) X')-V,./,(XVX--
V
= (ttSt ) • ЬЬ v^* <X) h (X'>- <x'>u <X)] • (7-e-2)
V*E = 4n 2 QcJia. j fad\. (7.6.3)
a
Уравнение (7.6.1) дает столкновительную поправку к уравнению Власова (7.5.2). Уравнение (7.6.2), которое выражает корреляции через одно-частичпые функции распределения /а, является приближенным и не учитывает членов порядка g2, например трехчастичных корреляций gapy. В гл. И мы рассмотрим решение уравнений (7.6.1) и (7.6.2), которое приводит к так называемому уравнению Ленарда — Балеску. Оно описывает релаксацию к равновесному распределению в течение промежутков времени, больших
КИНЕТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПЛАЗМЫ
289
времени между столкновениями тс. До сих пор не было как следует показано. при каких обстоятельствах действительно можно пренебречь трехчастичной корреляцией [в отличие ОТ утверждения, ЧТО gafr ~ 0 (g), которое было проверено непосредственно]. Из цепочки кинетических уравнений точно так же можно получить и кинетические уравнения более высокого порядка.
Цепочка кинетических уравнений для плазмы впервые была получена Боголюбовым [2], Борном и Грином [3], Кирквудом [4] и Ивоном [5] независимо друг от друга и называется цепочкой БЕГ К И. Дальнейшие замечания по поводу предела g 0 можно найти в гл. 2.
Статистическое описание плазмы на основе уравнения Власова (7.5.2) существенно упрощает точное описание с помощью уравнений (7.1.1) —
(7.1.4). Теперь необходимо посмотреть на следствия принятых упрощений и исследовать свойства укороченной системы уравнений, поскольку даже наиболее очевидные свойства решений точных уравнений не всегда присущи решениям приближенных уравнений.
7.1. Сохранение числа частиц в уравнении Власова
Скорость изменения полного числа частиц равна нулю, т. е.
что можно получить, интегрируя (7.5.2) по всем переменным. Этим свойством, конечно, обладают и исходные точные уравнения.
7.2. Сохранение знака функции распределения
Если в начальный момент времени распределение /а (х, t = 0) > О для всех х, V, то, эволюционируя согласно (7.5.2), fa остается положительным в любой момент времени. Действительно, если бы /а меняло знак в некоторый момент времени t0 в точке х0, у0, то для этого необходимо, чтобы производная dfjdt в данный момент времени была бы отрицательной, a V/a и Vv/a обращались бы в нуль. Однако уравнение Власова (7.5.2) не допускает одновременного выполнения условий dfjdt <0, V/a = 0 и Vv/a = 0*
7.3. Существование множества равновесных решений уравнения Власова
В противоположность точным уравнениям, все решения которых, согласно Н-теореме Больцмана, за времена, сравнимые со временем между столкновениями, стремятся к единственному равновесному решению, уравнение Власова описывает множество стационарных состояний. Иными словами, существует множество решений /а0 (7.5.2), для которых Dfa0Idt = 0. Эти состояния часто называют квазиравновесными, поскольку они равновесны только на временах, малых по сравнению со временем между столкновениями [по существу именно пренебрежение столкновениями соответствует приближению g -> 0, позволившему перейти от (7.2.8) к (7.5.2)]. Стационарное решение должно удовлетворять уравнению
