Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
/«3 (Xal > Xp1, t) шш V2 j Fn dXa2 ... dXaWa X
X dXP2 ... dX^p П dXyl ... dXyJf . (7.2.3)
V
Через двухчастичную функцию распределения можно выразить совместную вероятность того, что частица 1 сорта а находится в окрестности dX точки X, а частица 2 сорта P — в окрестности dX' точки X':
-pr/ap(X, X', t)dXdX'. (7.2.3а)
Следует заметить, что индексы а и P могут обозначать и частицы одного сорта (ос = Р), например электроны. В этом случае величина (7.2.3а) дает вероятность того, что электрон OC1 находится в окрестности dX точки X, а другой электрон а2 — в окрестности dXr точки X'. Это все еще упрощенное описание, но оно содержит более детальные сведения о плазме *), чем те, которые дает /а (X), поскольку оно учитывает взаимодействие между частицами GC1 и P1. (Если частицы не взаимодействуют, Zap=ZaZp*) Двухчастичное описание все еще не полно, поскольку вероятность того, что частица Gc1 находится в окрестности точки X, а P1 — в окрестности точки X', зависит от присутствия третьей частицы (например, Y1 в точке X" вблизи X или X'). Эти эффекты содержатся в еще менее упрощенном описании, а именно в трех-частичпой функции распределения
II dX
4 _Т73 f jri По всем частицам
Jafiy-V J^v dXaidX^ dXyi *
в четырехчастичной функции распределения и т. д.
Поскольку каждый член в Na = (X—Xi) описывает положение
г
частицы при известных начальных условиях, а Fn есть вероятность различных начальных условий, приведенные функции распределения могут быть выражены через средние по всем возможным начальным условиям от произведений Ara. Такое усреднение определяется формулой
(G(Na, Np, ...,N4))= j FnG (Na, Np, ...,Ny) П dx•
По всем частицам
В частности, через среднее значение плотности частиц в фазовом пространстве Na (X, t) выражается одночастичная функция распределения
(7.2.2):
(Na(X, *)>= j FNNa(x, v, t) П dX =
_ По всем частицам
Na
-= j Fn^1 6[х — Xai (01 б Iv — Vai- («)] П dX =
і-i По всем частицам
= -Na j Fn8 [Х — Xai (01 б [V — Val (?)] Д dX =
_ По всем частицам
= nafa(x, V, t). (7.2.4)
х) Так, знания равновесной двухчастичной функции распределения достаточно для построения термодинамики плазмы.— Прим. ред.
284
ГЛАВА 7
В этих равенствах мы использовали тождественность частиц сорта а и обозначили через па = NaIV среднюю плотность числа частиц.
Аналогично величина (NaNp) связана с двухчастичной функцией распределения. Пользуясь для Na явным выражением (7.1.1), можно показать* что с хорошей точностью
(Nа (X, t)Nt(X', t)) = njipfар (X, X' *)+6аРиа6(Х-Х0/а(Х, t). (7.2.5)
Средние электромагнитные поля получаются усреднением микрополей* зависящих от точного расположения частиц, по распределению всех частиц*
E = (E**)=j FnEm Д dX. (7.2.6)
По всем частицам
Таким образом, уравнения Максвелла после усреднения связывают средние поля непосредственно с одночастичными функциями распределения /а (х, у, ?).
Задача 7.2.1. Вычислите (Na (X, t) Nр (X', t >), не делая никаких приближений, и сравните результат с выражением (7.2.5).
Полная функция распределения Fn эволюционирует согласно уравнению типа (7.1.5). Однако уравнение, связывающее Fn (t) с Fn (0), трудно использовать, поскольку мы не знаем, как выбрать Fn (0). Зная, как приготовлялась система, часто бывает возможно выбрать вид одночастичной функции распределения /а (х, v, 0) в начальный момент времени. Поскольку через /а можно выразить все гидродинамические переменные системы, например
Tla — ^la ^ /а C?V,
ТІсхУ а~ Tla ^ v/a^v,
........... •»•»«
целесообразно найти уравнения, определяющие зависимость /а (или /а и /ар) от времени. Так как /а выражается через среднее от Nay усредняя непосредственно уравнение (7.1.5), получаем уравнение, описывающее изменение /а во времени,
(7-2-7)
Задача 7.2.2. Выведите уравнение (7,2.7). Опущены ли при выводе
какие-нибудь слагаемые?
Задача 7.2.3. Покажите, что
V*E = 4n 2 ganaj fa(x, V, t)d\
a
И
V X B = 2 ЯсЯа j v/a(x, v, t)d\. (7.2.8)
a
Далее, если взаимодействие между частицами исчезает, мы имеем (NaNfi) ->• (Na) (Nр> = TiaTipfа/р. То, что кинетическое уравнение для /а зависит от взаимодействия частиц, можно увидеть и яснее, записав (7.2.7)
КИНЕТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПЛаЗМЫ
285
в следующем виде:
д/« і dfa і Яд / р і vXB \ dfa
dt ^ dx ma Vj2j с )' д\ “
= -^[<(EM+^)'-irif)-(E + ^-)-^]. Р.2.9)
Если частицы не взаимодействуют, то правая часть этого уравнения обращается в нуль.
§ 3. КИНЕТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ КУЛОНОВСКОЙ ПЛАЗМЫ
Уравнение (7.2.7) не является замкнутым, поскольку в него входит среднее от произведения (AraArP). Это совсем нетрудно показать и упростить последующее рассмотрение, если ограничиться квазистатическим приближением, в котором пренебрегается эффектами запаздывания. В таком приближении состояние системы в момент времени t описывается мгновенными координатами и скоростями заряженных частиц. Это приближение справедливо, если температура плазмы такова, что
г;г<с. (7.3.1)
