Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
*) Lz — интеграл движения лишь при наличии аксиальной симметрии.— Прим. ред.
2Й2
ГЛАВА 7
рическую симметрию и плотность ее спадает по радиусу. Учтите вклад плазменных токов в полное магнитное поле В (г) z. Каково значение условия пхT Bi/8 л, используемого в п. 3 задачи 7.7.1?
Задача 7.7.3. Найдите набор равновесных распределений для плазмы, находящейся в поле E = E0z, причем B = O. Какие величины служат интегралами движения?
7.4. Энтропия и Н-теорема для бесстолкновительной плазмы
Энтропия статистической системы определяется следующим образом:
S = — 2 ^ fa Infadx d\. (7.7.5)
а
В случае плазмы, описываемой уравнением Власова, мы можем записать
45=-2Ит1"'-+т)*й''-°- P-7-в)
а
Последнее равенство следует из уравнения Власова (7.5.2). Следовательно, уравнение Власова сохраняет энтропию. Это согласуется с тем, что уравнение Власова не учитывает парных столкновений, вследствие которых система, увеличивая энтропию, эволюционирует к распределению Максвелла — Больцмана.
В некоторых случаях зависимость функции распределения /а от времени можно записать в виде
/а (0 = /ао (0 ~Ь foci (?)>
где /а0 меняется медленно, а /а1 — быстро. В таких случаях полезно ввести обобщенную энтропию
s* = - J /. о (*) In /ао (*) dx dx. (7.7.7)
Определенная таким способом «энтропия» не постоянна, и ее можно использовать для количественного описания увеличения беспорядка (например, теплового разброса скоростей) в системе (см. гл. 10).
Задача 7.7.4. Покажите, что dHldt = 0, где H = j ср (/а) dx dy, а ф —
произвольная функция (при условии, что /а удовлетворяет уравнению Власова).
§ 8. СВОЙСТВА КИНЕТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ
Кинетические уравнения (7.6.1) — (7.6.3) включают в первом порядке по g вклад столкновений частиц, которые наряду со средними полями E приводят функцию распределения к равновесной. Это все еще не точные уравнения. В обіщем виде эта система уравнений не была решена. Ее приближенное решение мы приведем в гл. 11.
Задача 7.8.1. Покажите, что функции
I т \ 3/2 / TTIolV2 \
и gap, даваемая в термодинамическом равновесии выражением (2.3.5), удовлетворяют кинетическим уравнениям первого приближения
КИНЕТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПЛАЗМЫ
293
(7.6.1) — (7.6.3), т. е. что равновесное значение
(-J^)
удовлетворяет также оборванной цепочке кинетических уравнений»
Задача 7.8.2. Покажите, что при характерных временах процессов ~(ор1 (т. е. если df/dt ж (dpf) и характерных расстояниях | х — х' | » ^ A,d корреляция gaP, оцененная из (7,6.2), дает поправку порядка g zs: МпкЬ к уравнению Власова.
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Власов А. A., Journ. Phys. (U.S.S.R.), 9, 25 (1945).
2. Боголюбов И. //., Проблемы динамической теории в статистической физике, Гостехиз-дат, 1946.
3. Вот Af., Green Н. S., A General Kinetic Theory of Liquids, Cambridge, London, 1949.
4. Kirkwood J. G., Journ. Chem. Phys., 14, 180 (1946); 15, 72 (1947).
5. Yvon /., La theorie des fluids et l’equation d’etat: actualites scientifiques et industrielles, Hermann and Cie, Paris, 1935.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
Dupree Т. #., Phys. Fluids, 6, 1714 (1963).
Климонтович Ю. JI., Статистическая теория неравновесных процессов в плазме, изд-во МГУ, 1964.
Montgomery D. С., Tidman D. A., Plasma Kinetic Theory, McGraw-Hill, New York, 1964, ch. 4—7.
Трубников Б. А., Столкновения частиц в полностью ионизованной плазме, в сб. «Вопросы теории плазмы», вып. 1, Госатомиздат, 1963.
Van Kampen N. G., Felderhof В. U., Theoretical Methods in Plasma Physics, Wiley, New York, 1967, ch. 15.
8
КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПЛАЗМЕННЫХ ВОЛН
В теории плазмы, основанной на кинетическом уравнении Власова, создаваемые частицами микрополя заменены на среднее поле в данной точке пространства, а функция распределения частиц вычисляется таким образом, чтобы быть самосогласованной с этим средним полем. Уравнение Власова, основанное на такой модели плазмы, правильно описывает поведение плазмы в течение промежутков времени, значительно меньших времени между парными столкновениями. Наряду со стационарными или равновесными решениями, рассмотренными в гл. 7, это уравнение позволяет проанализировать множество неравновесных явлений, к которым относятся волны и неустойчивости.
В настоящей главе мы изучим свойства плазменных волн малой амплитуды, представляющих собой распространяющиеся возмущения равновесного состояния, с помощью линеаризованного уравнения Власова. Успехи в понимании свойств плазмы в значительной мере были связаны с исследованием решений этого уравнения.
§ 1. УРАВНЕНИЕ ВЛАСОВА
Уравнение Власова вместе с уравнениями Максвелла
у.E = 4я 2 паЧа j /ос d\ + 4яр
внеш* (8.1.2)
а
V X j vfady+~Jbiwiu, (8.1.3)
VXE--If- (8.1.4)
описывают на языке функции распределения /а (х, v, t) стационарные состояния плазмы, плазменные волны, неустойчивости и другие процессы, разыгрывающиеся В течение небольших интервалов времени (тКоллек <С тс)* Функция распределения /а (х, v, ?), умноженная на среднюю плотность числа частиц сорта а (т. е. на па =* NJV), дает вероятное число частиц сорта а в элементе dxdv вблизи точки х, у в момент времени t: