Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
Дальнейшее упрощение состоит в пренебрежении магнитным полем:
Bftf = 0.
Это упрощение используется для того, чтобы сделать последующие формулы менее громоздкими. В окончательные уравнения для полноты будут снова введены связанные с магнитным полем члены. Далее, из уравнений
Em = —Уфм, VxEm = 0 (7.3.2)
и V*EM= 4я 2 ^Naqadx можно обычным путем получить
a
Vм (х, *) = S g« f jV|x(XJxTj’ 0 dx' dv'. (7.3.3)
a
Уравнение (7.2.7) для /a принимает вид
4-/.+T- #-25 Л(х’> (srdnn) =
P
= N1 qaqV f IJL 1________________\ v
f narna J Ux IX-X'I ) Х
X ((Na (X, t) iVp (X', t)Y - Wa/оЯ/р) dX' =
= 2 jSf »» J (^Г ) • ^ (X. X-, о - /«/„) dX'. (7.3.4)
P
Уравнение для /аР можно получить, если принять во внимание равенство
286
ГЛАВА 7
и воспользоваться уравнениями (7.1.5), (7.3.2) и (7.3.3) для dNJdt. Таким образом, имеем
(4r+y-i+v''4r) +6“рб (х - х')««/«(X)]=
= f V ( 0 Wa д I д ¦ д \ V
J \ дх I х — х" I ду дх' I х' — х" | ду' )
V
X (Na (Xj t)Nt(X’, t) Ny (X", t))dX". (7.3.5)
Нетрудно показать, что
(NaNpNy) = пащпу}а?у (X, X', X", t) +
+ 6aprcarav8 (X — X') fay (X, X", t) -f-
+ 8aY72vrcp8 (X — X") /ар (X. XV) +
+ 6pYHaftv6 (X —X )/av(X, X , -J-
+ SapSpv6 (X- X') б (X' - X") fa (Xj t) na. (7.3.6)
Чтобы замкнуть систему уравнений (7.3.4) и (7.3.5), необходимо иметь уравнение для /apv. Очевидно, следуя использованному выше методу, можно получить цепочку уравнений, причем в уравнение для (п — 1)-частичной приведенной функции распределения будет входить w-частичная функция.
Удобно выразить многочастичные функции распределения через корреляционные функции (введенные в гл. 2 для равновесного случая) с помощью группового разложения Майера:
/aP (X, X') = /а (X, f)/p(X', 0+foP (X1X', t),
/аРу = /а (X, 0 /р(Х', t) /7(Х", t) +
+ /« (X, t) gfiy (Xfj X", 0 + /P (X', О gay (Xj X", f) + (7.3.7)
+ /V(X", t) gap (X, X', t) + ga$y (X, X', X", t),
Для системы статистически независимых частиц ga$ = ga$y = 0.
Задача 7.3.1. Воспользовавшись равенством
\ 8 (х — х') -J——гг- dx' = 0,
J V 7 C>X I X —X I ’
покажите, что последнее равенство в (7.3.4) является точным даже в том случае, когда оставлены члены, учитывающие действие на частицу ее собственного поля (символ ( >' означает, что члены с «самокорреля-цией» не должны учитываться).
§ 4. ЗАМЫКАНИЕ ЦЕПОЧКИ КИНЕТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ|
Получить решение бесконечной цепочки кинетических уравнений так же трудно, как решить точные микроскопические уравнения (7.1.1) — (7.1.4). Однако статистическое описание имеет то преимущество, что обычно цепочку уравнений можно оборвать, найдя подходящие приближения для многочастичных корреляционных функций ga pY_, и получить тем самым замкнутую систему уравнений для нескольких приведенных функций распределения. Например, в разреженном газе нейтральных частиц радиус действия сил г0 намного меньше среднего расстояния между частицами гс-1/3. В этом случае естественно разложить корреляционные функции по малому пара-
КИНЕТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПЛАЗМЫ
287
метру nrl (заметим, что при nrI = 0 частицы полностью независимы, т- е* ga р = 0)* При этом оказывается, что трехчастичная корреляция ga$v много меньше двухчастичной корреляции gap, которая в свою очередь меньше произведения одночастичных функций распределения /а/р-
В случае плазмы цепочку кинетических уравнений также можно оборвать, хотя в плазме радиус действия сил г0 гораздо больше расстояния между частицами гс'1/3 (как обсуждалось в гл. 2 и 3). Ситуация в плазме полностью противоположна ситуации в газе нейтральных частиц. Малым параметром в плазме является величина
S-Jr «1. (7.4.1)
Из равновесной статистической механики, рассмотренной в гл. 2, следует, что корреляция gap мала по сравнению с /а/р, если параметр g <С 1. Причина этого заключается в том, что совместная функция распределения /а^ двух частиц плазмы, находящихся в малом объеме V1 который удовлетворяет неравенству
(7.4.2)
определяется воздействием большого числа частиц, расположенных вне этого объема, а не расстоянием между рассматриваемыми двумя частицами. Поэтому функция распределения /ар(Х, X') с хорошей точностью не зависит от взаимодействия между выделенными двумя частицами, т. е. /аР « /а/р* Это приближение становится точным при Неравенство gaP < i*h
непосредственно подтверждается после решения уравнений, использующих это неравенство.
Согласно сказанному выше, групповое разложение (7.3.7) можно рассматривать как разложение в ряд по плазменному параметру g, причем
/a » О (1),
^aP ^ О (&), ,
Цепочка уравнений, первыми уравнениями которой являются (7.3.4) и (7.3.5)г может быть оборвана, если пренебречь членами порядка gs, что приводит к замкнутой системе уравнений для (5 — 1)-частичной функции распределения /?,!?..
§ 5. КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ НУЛЕВОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ — УРАВНЕНИЕ ВЛАСОВА
Согласно выражениям (7.4.3), дающим порядок величины корреляционных функций, простейший метод замыкания цепочки уравнений (7.3.4),