Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
ионов, а также затуханием движения свободных электронов. (В
действительности существует затухание, обусловленное столкновениями между
электронами и ионами, при которых энергия колебаний переходит в
"беспорядочную" тепловую энергию.) Уравнение движения отдельного
электрона с зарядом q и массой М имеет вид
Mx = qE{t), (81)
где E(t)-электрическое поле в месте нахождения электрона. В случае
свободных колебаний E(t) задается величиной поляризации, приходящейся на
единицу объема:
E(t) = -4 nP(t) = - 4 nNqx{t). (82)
Из (81) и (82) следует уравнение свободных колебаний
х = - =(83)
Таким образом, мы повторили (более кратко) вывод уравнения движения для
колебаний плазмы при частоте <лр. Теперь предположим, что один "конец"
плазмы находится под действием силы, вызванной радио- или
телепередатчиком. (Чтобы упростить задачу, предположим, что ее
"геометрия" эквивалентна передающей линии из параллельных пластин.) В
этом случае E(t) будет суперпозицией двух величин [по аналогии с (71)]:
Е (t) = ЕП-4nP (t). (84)
Здесь Еп (индекс "п" означает передатчик) - поле, которое существовало бы
в отсутствие свободных колебаний. Уравнение движения электрона в плазме
аналогично уравнению движения электрона в "молекуле стекла" [уравнение
(74)] при условии, что коэффициент упругости К=Ма>1 и коэффициент
затухания Г равны нулю. Таким образом, свободный электрон имеет
"нулевую резонансную
частоту", т. е. со0=0. Поэтому значение показателя преломления
или дисперсионное соотношение для этого случая можно получить, положив
со0=0 в уравнении (78):
1? = "2 = е = 1-(85)
где со2 =4nNe2IM. Умножая обе части уравнения (85) на со2, получим
Уравнение, которое было выведено в главе 2:
ш2 = (о?-)-с2&2, со^Шр. (86)
175
Для реактивной области частот имеем экспоненциальные волны:
Нужно, однако, заметить, что наша модель ионосферы не совсем точна.
Некоторые физические предположения, сделанные нами, не выполняются в
действительности, и дисперсионное соотношение имеет более сложный вид,
чем выражения (86) и (87). Например, для существенно низких частот
электрон в среднем испытывает несколько соударений с ионами за один цикл
колебаний. В этом случае необходимо учитывать затухание, мы же
пренебрегали им. Далее, при некоторых частотах, отличных от ар, в плазме
возникают резонансы. Например, для низких частот становятся важными
колебания плазмы, обусловленные движением ионов. (Частота таких колебаний
плазмы близка к 100 кгц.) Нужно также учитывать "циклотронную частоту"
сос, которая соответствует круговому движению электронов в магнитном поле
Земли. (Это поле порядка 0,5 гс*).)
Качественное объяснение граничной частоты. Мы знаем, что для любой
системы (например, для системы связанных маятников) частота первой моды
свободных колебаний является также самой низкой частотой синусоидальных
волн, когда система находится под действием внешней силы. Таким образом,
частота первой моды является также граничной частотой вынужденных
колебаний. Для частот внешнего воздействия, меньших этой частоты, волны
экспоненциальны. Точно на частоте порога длина волны синусоидальных волн
бесконечна (в этом случае все маятники колеблются в фазе). Таким образом,
если мы хотим узнать дисперсионное соотношение для граничной частоты, нам
следует положить k=0. Частота, полученная из дисперсионного соотношения
при k=0, и будет граничной частотой. Эту частоту будем обозначать согр. В
нашем примере коэффициент преломления равен [см. уравнение (78)]
Полагая k=0, получим значение граничной частоты:
Теперь вспомним, что со2- это возвращающая сила, приходящаяся на единицу
массы и единицу смещения. В соответствии с тем, что говорилось выше для
ионосферы, возвращающая сила (на единицу массы и единицу смещения) для
свободных колебаний электрона в ионосфере равна соJ,=4nNq2/M. Это первая
нормальная мода колебаний для электронов, которая имеет бесконечную длину
волны (т. е. все электроны колеблются в фазе). Очевидно, что если теперь
к каждому колеблющемуся заряду приложить связывающую силу с помощью
"пружины с коэффициентом жесткости" Mai, то мы про-
*) Интересное обсуждение экспериментальных данных можно найти в статье:
W. С а 1 v е г t, R. К п е с h t, Т. V а п Z а п d t, Science 146, 391
(1964).
со2 = со р - с2х2
(87)
(88)
176
сто увеличим возвращающую силу (на единицу массы и единицу смещения),
действующую на каждый заряд, на со". В этом случае заряды опять
колеблются в фазе и k равно нулю, так что поведение системы соответствует
первой моде свободных колебаний. Теперь мы видим, что правая часть
уравнения (88) определяет возвращающую силу на единицу массы и
на единицу смещения для первой
моды свободных колебаний. Поэтому это-граничная частота. Таким образом,
уравнение (88), так же как и неравенство (79), справедливо для реактивной
области частот, где волны экспоненциальны.
Приведем еще одно физическое объяснение существования граничной частоты.
Для простоты положим со0=0. В этом случае наша "модель" - это ионосфера.
