Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
резонансы в стекле находятся в ультрафиолетовой области, соответствующей
длинам волн %=ch порядка 1000 А (10-6 см) или меньше. Длины волн видимого
света примерно в пять раз больше, а частоты со видимого света
соответственно в пять раз меньше, чем средняя резонансная частота со0. В
этом случае в соответствии с уравнением (78) п2-1 положительно, что
согласуется с опытом. Заметим также, что при возрастании со (со всегда
остается меньше, чем со о) знаменатель cog-со2 в уравнении (78)
уменьшается и п2-1 возрастает. Поэтому голубой свет (более высокие
частоты) должен иметь больший показатель преломления, чем красный. Это
находится в согласии с опытом: призма отклоняет голубой свет сильнее, чем
красный.
Фазовые скорости, большие с. Когда частота со внешнего воздействия
(представляющего собой свет, т. е. электромагнитное излучение) меньше
резонансной частоты со0, мы имеем приведенный выше результат. Из него
следует, что фазовая скорость меньше с, длина волны меньше длины волны в
вакууме и возрастание частоты вызывает увеличение показателя преломления.
Такое изменение показателя преломления с частотой называется "нормальной"
дисперсией. Если же сместиться в область ультрафиолета, где частота
внешнего воздействия больше резонансной частоты, то величина п2-1, как
это видно из (78), станет отрицательной ("2 меньше единицы). Если я2
лежит между нулем и единицей, мы опять имеем нормальную дисперсию. Но в
этом случае фазовая скорость больше с, длина волны больше длины волны в
вакууме и увеличение частоты приводит к возрастанию показателя
преломления (когда частота станет в конце концов очень большой, то п
приблизится к единице и среда будет вести себя подобно вакууму). В
частотном диапазоне вблизи резонансной частоты со0-х/2Г<со<со0+1/2Г
показатель преломления уменьшается с возрастанием со. Это область
"аномальной" дисперсии.
Физическая причина того, что фазовые скорости могут быть больше с,
заключается в существующем соотношении между фазой
173
возмущающей силы qE(t) и фазой колебаний x(t) заряда q, на который
действует эта сила. Мы знаем, что если частота внешнего воздействия
меньше резонансной частоты,то смещение x(t) будет "следовать" за qE(t),
т. е. заряд будет колебаться в фазе с внешней силой. При смещении заряда
возникает электрическое поле, которое уменьшит внешнее поле. Уменьшение
внешнего поля приведет к уменьшению возвращающей силы и соответственно к
уменьшению фазовой скорости. После перехода через резонанс (когда со>со0)
смещение заряда x(t) находится в противофазе с внешней силой qE(t). Поле,
образованное смещением заряда, усиливает внешнее поле E(t), что в свою
очередь приводит к увеличению возвращающей силы, и фазовая скорость будет
больше скорости света с в вакууме.
Хорошей иллюстрацией сказанного может быть пример с маятником. Если на
маятник действует периодическая сила с частотой, меньшей собственной
частоты колебаний маятника, то колебания происходят в фазе с этой силой.
Если же частота вынуждающей силы больше резонансной частоты, то колебания
маятника будут в противофазе с внешней силой. Можно сказать, что в факте
превышения фазовой скоростью скорости с таинственного и непонятного не
больше, чем в том, что гиря маятника движется направо, тогда как внешняя
сила направлена налево.
Экспоненциальные волны - реактивный частотный диапазон. Если частота
внешней силы со>со0, то в соответствии с (78) л2<1. При значениях л2
между нулем и единицей мы имеем синусоидальные волны, т. е. k°- ¦-
положительное число. Это совершенно справедливо для случая достаточно
больших со (когда co>co0), так как для таких значений со величина л2 лишь
незначительно отличается от единицы. Однако в области частот от со=со0 до
со=со0 плюс несколько Г величина л2 отрицательна. Эта область частот
определяется неравенством
^>со2-< (79)
Мы должны оговорить, что со2-со2^>Гсо0 (т. е. мы находимся достаточно
далеко за резонансом и поэтому можем использовать приближенное выражение
для Лд). Таким образом, если выполнено условие (79), то из (78) следует,
что л2 отрицательно, а это означает, что /г2 также отрицательно.
Полученный результат означает, что дифференциальное уравнение волны в
пространстве
-*?г^ = -Ь^{г, t), ?2>0, (80а)
будет иметь вид
= + *2Ф (г, t), и2 > 0, (806)
и его решением будут не синусоидальные, а экспоненциальные вол-
ны. С подобным положением мы встречались и раньше в случае
174
связанных маятников-. (Когда дисперсионное соотношение для k2 дает
отрицательные значения k2, мы меняем обозначение k2 на -к2.)
Мы приведем качественный вывод условий, для которых справедливо уравнение
(79), после того, как рассмотрим специальный случай со0=0. Этот
специальный случай дает закон дисперсии для ионосферы.
Пр и м е р 7. Дисперсия в ионосфере. В п. 2.4 (пример 6) мы дали простую
модель плазмы в ионосфере Земли и определили частоту сор свободных
колебаний плазмы. В этой модели мы пренебрегли движением положительных
