Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
нашей оценки видно, что болезненные ощущения не являются следствием
большого давления. Давление 600 дин/см2 равно 6х X Ю-4 атм и
"соответствует" погружению на глубину около 0,5 см.
б) Амплитуда звука при болезненных ощущениях. Вычислим амплитуду
колебаний молекул воздуха для болезненно громкого звука. Пусть ф(г, ^) =
Acos(co/-kz). Тогда производная dty/dt, возведенная в квадрат и
усредненная по одному циклу (при фиксированном г), будет равна 4/2 со2А2.
Используя уравнение (113) и предполагая, что частота равна 440 гц, имеем
, (2 I/Z)'P (2-1000-10/42,8)^ 1
Л = (6,28)'(440)..= 2'5'10 *СМ=ТММ.
в) Амплитуда едва слышимого звука. Вычислим амплитуду колебаний у порога
слышимости. Положим интенсивность звука равной 10"10 /0- Амплитуда
пропорциональна корню квадратному из I. Для частоты 440 гц искомая
амплитуда будет равна корню квадратному из 10~13, умноженному на
результат, полученный в предыдущем приложении, где мы считали /=1000 /0.
Имеем
10-6,5(2 5.1Q-2) = 2^Д?Д8^ IQ-8 см_
к ' ]/То
Это - величина порядка диаметра атома. Таким образом, наше ухо настолько
чувствительно, что может воспринимать смещения барабанной перепонки,
равные диаметру атома!
г) Мощность на выходе высококачественного громкоговорителя. Оценим
величину мощности на выходе высококачественного громкоговорителя.
Предположим, что с помощью этого громкоговорителя озвучивается длинная
комната, имеющая отражающие боковые стенки и поглощающую звук заднюю
стенку. Пусть интенсивность звука равна 100 /0, а поперечное сечение ком-
наты 3 мХЗ тижЮ5 см2. Можно считать, что в том месте, где установлен
громкоговоритель, он воздействует на целую стенку, которая и передает
излучение, или что в этой части комнаты имеется постепенно сужающийся к
громкоговорителю рупор. Это нужно для согласования импедансов
громкоговорителя и комнаты (согласование импедансов рассмотрено в главе
5). Выходная мощность равна
Р = 1 X (площадь) = 100 /"¦ 105 = 107 мквт = 10 вт.
д) Совместное действие двух звуков, интенсивность которых близка к
болезненной. Предположим, что человек еще может терпеть боль при
интенсивности 100 /0 при частоте 440 гц, но боль трудно переносима при
интенсивности 200 /0 и той же частоте. Предположим, что то же справедливо
и для частоты 512 гц. Пусть две ноты А440 и С512 звучат одновременно и
интенсивность каждой будет 100 /0. Сможет ли человек выдержать их
одновременное звучание? Полная интенсивность в этом случае равна 200 /0.
Мы надеемся, что теперь у вас достаточно знаний, чтобы разобраться в ряде
интересных задач о звуке. Мы не рассматривали стоячих звуковых волн. Их
поведение аналогично стоячим продольным волнам в "пружине". Теперь вам
следует перейти к домашним опытам, касающимся звука. Мы надеемся, что они
не вызовут затруднений.
П р и мер 11. Бегущие волны в передающей линии. Линия, о которой идет
речь, показана на рис. 4.11. Вынуждающая сила
h
L L 1
и с-- = С-
и ml
.и ml.
"1 " ^ Рис. 4.11. Бегущие волны в передающей линнн.
представляет собой напряжение V (t), приложенное в начале линии (точка
2=0). Будем рассматривать приближение длинных волн, когда V (z, t) и I
(z, t) - непрерывные функции г. Если передающая линия бесконечно длинная
(или нагружена на полностью поглощающий приемник), то мы имеем открытую
систему, в которой распространяются бегущие волны напряжения V (z, t) и
тока I (z, t). Если вынуждающая сила V (t) на входном конце имеет вид
V (t) = V0 cos со/, (120)
то' волна напряжения V (z, t) в точке 2=0 равна E0cosco^, и мы можем
записать
V(z, ^)=E0cos(co/-kz). (121)
189
Мы хотим найти связь между V (z, t) и I (z, t). Оказывается, что (для
бегущих волн) эти величины пропорциональны друг другу (между ними нет
сдвига фаз). Предположим, что выражение для / (г, /) имеет вид
1 (z, t) = I0cos((at-kz) + /0sin (<о/- kz). (122)
Мы покажем, что </0 равно нулю.
Рассмотрим первую емкость на рис. 4.11. Заряду этой емкости Qi(t)
соответствует разность потенциалов Vi(t):
Q1(t) = CV1(t) = CV(z1, t). (123)
Тогда
В последнем равенстве мы использовали непрерывное приближение. Таким
образом,
t) ( С_ \ -1 dl (z,. t) ^ ^
dt \ a J дг '
Подставляя уравнения (121) и (122) в уравнение (124), мы видим, что
постоянная </0 в уравнении (122) должна равняться нулю. После подстановки
получаем
- coP0sin (соt - kz) = -1 hksm (соt - kz),
= (125)
откуда
V (z, t)=<??^I(z, t) = ZI(z, t) (126)
по определению Z. Таким образом, фазовая скорость и характеристический
импеданс (для линии с распределенными параметрами) равны
<127) (128)
V
Мгновенное значение мощности на выходе передатчика (в точке 2=0) равно
P(t) = V(t)I(t) = V(0, /)/(0, t) = ZI2 (0, t). (129)
Эту мощность можно записать иначе:
P(t) = V(0, 0/(0, 0 = ^- (130)
Заметим, что мы могли бы получить выражение для Z простой заменой К на
С'1 и М на L в результате, полученном при рассмотрении продольных
колебаний системы масс и пружин. Однако из-за
важности этого примера мы рассмотрели его отдельно.
