Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Е (л -= w'1 ^ w*qy°cos +ф1>. (3)
1 \ J r^c2 ' V /
Выражение для поля E2(t), излученного в момент t'% в результате движения
второго источника г/2 (72), имеет аналогичный вид. В приближении далекого
поля считаем, что гх и г2 равны среднему расстоянию г:
Г = + (4) ?1(0'-=^(/')со5(со^ + ф1), E^{t) = А {г) cos {Ыг+уг), (5)
А (г) = • (6)
Моменты t\ и t'2 испускания излучения, регистрируемого в точке Р в более
поздний момент времени, определяются из равенств
cotl=co^t- "r) = co t-krv = -~f) = c01 - kr2. (7)
Разность фаз, возникающая от разности хода лучей. Разность хода лучей г2
- зависит от угла 0, поэтому разность фаз двух волн в точке Р также
зависит от 0. Именно это изменение разности фаз при изменении угла 0 и
определяет интерференционную картину. Разность фаз Дф, возникающая
вследствие разности хода лучей, равна
Дф = -cat^ =k(r2-r1) = k (d sin 0) = 2nrf-"1-9., (8)
411
где d sin 0 - разность хода (см. рис. 9.4). Различные формы выражения (8)
для Аф математически эквивалентны, но соответствуют различным мысленным
картинам, каждая из которых должна быть рассмотрена отдельно. Так, в
первом случае мы обращаем внимание на то, что излучение испущено в разные
моменты времени. В последнем случае разность фаз равна 2я, умноженному на
число длин волн, определяющих разность хода, во втором и третьем случаях
можно говорить о числе радиан фазы на единицу длины (волновое число k),
умноженном на разность хода. Кроме величины Аф, определяемой из уравнения
(8), может существовать разность фаз ф! - ф2 колебаний самих источников.
Полное поле Е в точке Р является суперпозицией полей Ег и Ег:
Е (г, 0, t) = E1 + Ea = A (г) cos (со^ + фх) + А (г) cos (со*, + ф2) =
= А (г) cos (со* +фг- kr^Ar А (г) cos (со* +ф2-kr2). (9)
"Средняя" бегущая волна. Вместо того чтобы считать поле Е суперпозицией
двух сферических бегущих волн от источников 1 и 2, мы можем представить
это поле как одну "среднюю" сферическую бегущую волну, амплитуда которой
зависит от угла распространения 0, а фаза равна среднему значению фаз фх
и ф2. Воспользуемся тригонометрическим равенством
¦j(a + b) + Y (а-Ь)
cos а -|- cos b = cos -fcos
+
(а + Ь) - у (а - &)~| =2 cos у (а-f b) cos у (a - b), = С0* + ф1- kr j, й
= со*-|-ф2-kr2.
где Тогда
у (а + b) = wt + у (Ф^Фг) - у^(Н + ^)=="^ + Фср-kr, (10)
i-(a-fc) = -i (ф1-ф2) -у^(Г1-г3) = у (ф1-ф2) +у Аф. (11) Теперь уравнение
(9) можно переписать так:
Е{г, 0, 0 = |2Л (r)cosjy (ф, - ф2) + у Аф | cos (со* + фср--kr) =
= Л (г, 0)соз(со*-[-фср-&г), (12)
где амплитуда А (г, 0) определяется по формуле
А (г, 0) = 2Л(г) cos 1(ф1-ф2) + 4-Аф], (13)
л и, \ г. dsine
Аф = (r2 - rj = 2я-^- .
Поток фотонов. Поток фотонов в данной точке поля Р пропорционален
среднему во времени потоку энергии <5>. В нашем случае, когда имеется
лишь одна компонента поляризации, направленная по у, поток энергии равен
<S> = i-<E*>, (14)
412
где
Е = уE{r, 0, t). (15)
Имеем
<E2> = <[Л (г, 0) cos (co^ + фср-^r)]2> = -i-Л2 (r, 0), (16)
где
Л2(г, 0) = |2Л(г) cos у(фх - ф2)+уАФ }2- (17)
Интерференционная картина от двух щелей. Будем считать, что г
фиксировано, и посмотрим, как меняется поток фотонов при изменении угла
0. В соответствии с уравнениями (14) - (17) имеем
/ (0) = /макс cos2 [4(44-ф2) +у Дф] (18)
(через 7(0) обозначен поток фотонов). Из уравнения (18) следует, что
интенсивность изменяется как квадрат косинуса половины полной разности
фаз, определяемой разностью фаз источников и разностью фаз, возникающей
вследствие зависимости разности хода лучей от угла 0.
Источники колеблются в фазе. Если Фх и ф2 равны, зависимость
интенсивности от угла определяется только разностью хода:
/ (0) = / макс COS2 у Дф = /макс COS2 Я . (19)
Это выражение справедливо как для двух щелей, так и для двух точечных
источников. На рис. 9.5 показана зависимость интенсивности от угла 0 для
малых 0(0жО). Мы предполагаем, что расстояние между источниками
значительно больше Я(d^> Я), так что 7(0) проходит через много максимумов
и минимумов, в то время как 0 остается довольно малым. На рис. 9.5
показаны несколько максимумов и минимумов в небольшой окрестности 0^0.
Источники колеблются в противофазе. Если фх и ф2 отличаются по фазе на
±я, то половина разности фаз равна ±я/2 и уравнение (18) принимает вид
/ (0) = /макс sin21 Лф = 7макс sin2 . (20)
На рис. 9.6 показан график выражения (20) в области 0"О для случая, когда
d^>'k.
Интерференционная картина вблизи 0 =0°. Глядя на линейный источник света
через две щели, нельзя указать направление, для которого 0 = 0°. Таким
образом, в рис. 9.5 и 9.6 содержится больше информации, чем нам обычно
доступно (по крайней мере в домашних опытах). Наиболее важной информацией
является угловой интервал между двумя последовательными максимумами или
соответствующий пространственный интервал на экране детектора. (Таким
экраном может быть, например, сетчатка глаза.) Два последовательных
максимума на рис. 9.5 и 9.6 соответствуют изменению разности хода на одну
