Сборник задач по классической механике - Коткин Г.Л.
ISBN 5-93972-058-7
Скачать (прямая ссылка):
Q = г + [5р>, г], Р = Р + [5р>, р].
Преобразование представляет собой поворот системы координат на угол -
5ip.
в) Q(t) = q(t + 5т), P(t) = p(t + 5т), Н'(Р, Q, t) = Н(р, q, t + 5т).
Преобразование представляет собой сдвиг во времени на 5т (ср. [1], § 45).
г) Q = г + 2р 5а, Р = р 2г 5а.
Преобразование представляет собой поворот на угол 2 5а в каждой паре
плоскостей аур* (г = 1, 2, 3) в фазовом пространстве.
11.18. а) Ф(г, Р) = гР + nP5a + п[гР]5<р, где 5а - смещение
вдоль
направления n, a 5ip = ~ угол поворота вокруг n (h - шаг винта);
б) Ф(г, Р, t) = гР - VPt + mrV;
в) Ф(г, Р, t) = гР - 15Г2[гР].
298 Ответы и решения [11.19
11.19. Sf(q, р) = А{1Ф, /W
т> Т) \ С' уу
В самом деле, подставляя значения новых переменных г = р - л-- и
3W dq
Q = q + в f(Q: Р) и разлагая полученное выражение по степеням
Л,
получим с точностью до первого порядка включительно
з ч dfdW{q, р) dfdW(q,p)
Sf{"'= *aq-g^- -Хар-Щ--
11.20. Полагая в предыдущей задаче Ф = гР + АгР, получим преобразование
подобия с а = 1 + А (см. задачу 11.12). Предложенная функция Гамильтона
такова, что Н'(Р, Q) = а2II(P. Q), и поэтому А{Н, гр} =
= Н' - Н = 2ХН(Х -> 0). С другой стороны, {Н, гр} = -^(гр). Отсюда
гр - 2Et = const (ср. с задачей 4.13 б).
11.22. Пусть Siq и Sip* - изменения координат и импульсов, связанные
с преобразованием, задаваемым Фь Тогда
/(<? + &iq, Р + §!р) = f(q, р) + Ai{Wi(q, р), f(q, р)} + \t<pi(q, р).
(1)
К каждому из слагаемых правой части (1) применим далее преобразование,
задаваемое функцией Ф2,
f(q + S21q, р + 621р) = / + \2{W2, /} + А^ИА, /} + +А1А2{W2l {Wi, /}} +
А}(/?1 + X2ip2.
Преобразование X\ipi{q, p) дает добавку выше второго порядка малости.
Результат применения этих преобразований в обратном порядке
/(<? + S12q, р + 612р) = / + Ai{VFi, /} + A2{W2, /}+ +XiX2{Wi, {W2, /}} +
A}</?i + Х\р2
отличается от (2) только членами второго порядка, пропорциональными А1А2.
Вычитая (3) из (2), получим
AiA2({VT2, {Wx, /}} - {ГГЬ {ГГ2, /}}) = AiA2{/, {Wu ГГ2}}.
1 Укажем, например, изменение импульса с точностью до второго порядка:
dW1(q,P) dWi{q, р) , ,2 д2\Уг(д, р) dW^q, р)
51Р = Р-р = -\1-------------- = dq 1 dpdq-----------
11.23]
§11. Канонические преобразования
299
Поэтому, в частности, сдвиги AW = АаР (см. задачу 11.16) перестановочны,
а повороты вокруг разных осей XW = 5у>[гР] - нет.
Справедливо ли утверждение, обратное сформулированному в задаче?
11.23. Каноническое преобразование с переменным параметром Л можно
рассматривать как "движение", причем Л играет роль времени, a W(q, р) -
функция Гамильтона (ср. с задачей 11.16 в). Уравнения "движения"
dQ _ 8W(Q, Р) dP _ 8W(Q, Р)
d\ дР ' d\ dQ
Эти уравнения легко получить и формально из результата задачи 11.19.
а) Бесконечно малое изменение координат и импульсов при данном
каноническом преобразовании имеет вид
dr = - г} = -^{Ма, г} = - [п, г)dp,
= ~[п, p]<fy,
где М = [г, р], n = d. dp = . Это преобразование представляет собой
поворот системы координат на угол dp вокруг направления п. Направив ось z
по а, получаем окончательно
X = х cos р - у sin р, Y = у cos р + х sin р, Z = z
и аналогичные формулы для компонент импульса.
б) Бесконечно малое изменение координат и импульсов при каноническом
преобразовании, задаваемом Ai, имеет вид
dx = рх dp, dy=-pydp, dpx = -xdp, dpy = ydp,
где dp = Это преобразование представляет собой поворот на угол +6р в
плоскости хрх и на угол -5р в плоскости уру. Поэтому
X = х cos р + Рх sin р, Y = у cos р - ру sin р,
Рх = -х sin р + Рх cos р, Ру = у sin р + ру cos р.
Аналогично А2(Аз) задает поворот на угол р{-р) в плоскостях хру и урх (ху
и РхРу) и А4 - поворот на угол Ар в плоскостях хрх и уру.
300
Ответы и решения
[11.24
Отнюдь не любой поворот в фазовом пространстве является каноническим
преобразованием. Например, поворот в плоскости хру - не каноническое
преобразование.
Интересно сравнить движение двумерного изотропного гармонического
осциллятора (функция Гамильтона Н = и движение частицы
в плоскости ху в произвольном поле, обладающем осевой симметрией, U(х2 +
у2). В обоих случаях интегралами является момент импульса 2А%, сохранение
которого связано с инвариантностью системы по отношению к поворотам
вокруг оси z. Для осциллятора, кроме того, есть интегралы движения А\ и
/Г, сохранение которых связано со "скрытой" симметрией - инвариантностью
функции Гамильтона относительно определенных поворотов в фазовом
пространстве. В этом смысле осциллятор подобен частицу в трехмерном
центральном поле, для которой есть три интеграла движения MXjVjZ.
Наличие дополнительных интегралов движения у осциллятора приводит к тому,
что точка (х, у, рх, ру) в фазовом пространстве движется по замкнутой
линии, в то время как для частицы в поле U(x2 + у2) фазовая траектория
"заполняет" двумерную поверхность (см. [1], § 52).
Рис. 158
11.24. а) В импульсном и фазовом пространстве выделенный объем с
течением времени не меняется, в координатном пространстве происходит его
