Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Коткин Г.Л. -> "Сборник задач по классической механике" -> 73

Сборник задач по классической механике - Коткин Г.Л.

Коткин Г.Л., Сербо В.Г. Сборник задач по классической механике — И.: НИЦ, 2001. — 352 c.
ISBN 5-93972-058-7
Скачать (прямая ссылка): sbornikzadachpomehaniki2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 67 68 69 70 71 72 < 73 > 74 75 76 77 78 79 .. 86 >> Следующая

со
сл/тгт2
еЖ
сРх
еЖ
гР
сгу
еЖ'
t
K{t)= жJr{t)dt +Ro-
/
о
10.10.
p = p Q+eSt, e(p)-e^r = e0, (r - rQ)eS = e(p0 + eSt) - e(p0).
Здесь го, ро и ?о - постоянные.
10.11.
р = её + | vJtf? .*
'Подробнее о движении электронов в металле (задачи 10.9-10.13) см.,
например, [18], [25],
§4.
10.17] §10. Уравнения Гамильтона. Скобки Пуассона 289
10.13.
Е
с I dp [ Г dp dS
Т еЖ! |vj_| ' 5 J dEJ |v_l | ' T дЕ'
В, "in
где w±_ - ортогональная к Ж составляющая вектора
10.14. а) У ' ^ijkXkt У у &ijkPk-> У ' .
к к к
б) ab,
{аМ, Ьг} = |^агМг, j = '^aibj{Mi, ay} =
г 3 ij
= -'^albjeljkXk = - [ab]r, [ab]M.
ijk
в) 0, nrr(tm)~2, 2a (ar).
10.15. {Ai, Aj} = - ^ eijkAk, {Ai, A4} = 0, здесь i, j, к принима-
к
ют значения 1, 2, 3 (ср. с задачей 10.14 а).
{AT, Ajfc} ^ ~ tjiАц. У ^ вг/д A^j,
i i
{A//,-. Ад} = SijMik 7//.AA/y -Ь A d /.lAItf ¦
где Мы =Pk%i -pixk
10.17. При повороте системы как целого на бесконечно малый угол ?
вокруг оси z изменение dp любой функции координат и импульсов в первом
порядке по ? равно
dp = р{х-еу, у + ex, z, рх-?ру, ру + ерХ7 pz) - р{х7 у, z,
рх, ру, pz) =
WA + =с{м" *>•
1eijk - полностью антисимметричный тензор,
ei23 = ^231 = ^321 = 1, ei32 = 6321 = 6213 = -1; остальные компоненты
равны нулю.
290 Ответы и решения [10.18
Если ср - скаляр, то его изменение при повороте равно нулю. Поэтому {(/з,
Mz} = 0. Если <р = fx - компонента векторной функции, то ее изменение при
повороте 5fx = -sfy, значит,
{Mz, fx} = -fy или {Mz, f} = [nf]
(ср. [1], § 42, задачи 3,4). Чему равны скобки Пуассона {MZl Тхх}, где
Тхх - компонента тензорной функции?
10.18. [f, aM] = [f, a], {fM, 1М} = [fl]M + ?1к}.
гк
10.19. Полагая во второй формуле предыдущей задачи f
= и
1 = в?, где гу- и Of орты осей С и ? в подвижной системе координат,
получим
{Мс, Ме} = +М". (1)
Это равенство отличается знаком правой части от аналогичного
соотноше-
ния для проекций момента на оси неподвижной системы координат
{Mz, Мх} = -Му. (2)
Рис. 157
Как было показано в задаче 10.17 (см. также [4], § 8.7), скобки Пуассона
(2) характеризуют изменение компоненты Мх при повороте системы как целого
на бесконечно малый угол е (рис. 157,а) 5МХ = e{Mz, Мх} = -еМу. Скобки
Пуассона (1), равные
{е^М, е^М} = {М^еДМ,
10.21] §10. Уравнения Гамильтона. Скобки Пуассона 291
характеризуют изменение проекции неподвижного вектора М на ось су при
бесконечно малом повороте подвижной системы координат вокруг оси Q (рис.
157,6; на рисунке оси ?, г/, ( совпадают до поворота с осями х, у, z).
10.20. Ма = еа/з7(/_1)7гМ/зМг, в частности, если выбрать по-
/37<5
движную систему так, чтобы тензор инерции Г'1 был диагоналей, получим
уравнения Эйлера (см. [1], § 36 с уче том соотношения Ма = I,Sh,).
10.21. Уравнения движения
Mi = {Я, Mi} = jeijkMjjtfk, ИЛИ М = -у[ЖШ],
т. е. вектор М вращается с угловой скоростью - Ж.
а) Вектор М прецессирует вокруг направления Ж\
Мх = Мх(0) + Му(0) БтуЖ^Ь,
Му = -Мх(0) БтуЖуЬ + Му{0) cosуЖуЬ,
Mz = Mz( 0).
б) Вектор М вращается с угловой скоростью -уЖ, которая в свою очередь
вращается вокруг оси z с угловой скоростью ал Удобно воспользоваться
вращающейся системой отсчета, в которой вектор Ж неподвижен. В этой
системе компоненты угловой скорости вектора М равны
и>'х = -уЖ\, Lо'у =0, 10 z = -уЖ\ - 10 = ?.
При заданном начальном условии компоненты М во вращающейся системе
М'х = -а^~Mq(1 - cos Лt),
Л
М'у = аМо sin \t,
Mz = + a2 cosXtjMo,
где Л = ^/е2 + у2Ж2, а = уЖ\/^/е2 + у2Ж2.
В неподвижной системе
Мх = м'х COS Lot - My sin Lot, My = M'x sincjt + My cos uit, Mz = Mz.
292
Ответы и решения
[10.22
При Ж\ <С Жо зависимость амплитуд MXiV от uj носит резонансный характер:
вообще говоря, эти амплитуды малы ~ М$Ж\/Ж$, но при |е| = = \ш + ^Жо\<^Жг
они резко возрастают, достигая значений ~ Mq. В частности, при ш = -7^0
Мх = -Моът^Жрът^/Жр,
Му = Мовт^Ж^сов^ЖоЬ,
Mz = М^соз^Жр.
10.22. {, Vj} = X] е^кЖк.
т с к
10.23. a) p(i) = р + Ft, г(t) = г + ^
б)
p(t) = р cos ujt - muiq sin u>t,
P
q(t) = q cos uit + sin uit.
Разумеется, эти величины проще вычислить, не используя скобок Пуассона.
Но предложенный метод легко может быть перенесен в квантовую механику
(см. [26], § 34).
10.25. а) Согласно предыдущей задаче
I = {Я,/} = f {/,/} = 0.
б) Функция Гамильтона
H=lt + ^mPe'Pv)'
где
р^
/(в, ре, Pip) =Рв^ 1 Ь 2та cosO.
sin в
Интегралы движения: Е, pv и, согласно предыдущему, /.
11.3] §11. Канонические преобразования 293
10-26- а) SA Al-ША, ЛГ
{AZl Aj} - т ^xjkMk,
k=i з
{Ai, Mj} = - SjjkAk;
k=1
б) {H, J 1,2} = 0, {Ju, J2j} = 0,
3 3
{Jli, Jlj } - У ' Jlk, {J21, J23 } ^ J2k ,
k= 1 fc=l
jj _ та2
4(J?+J2)
Векторы J1 и J2 независимые интегралы движения. Каждый из них имеет такие
же скобки Пуассона для своих компонент, как и обычный момент импульса.
Наличие двух таких "моментов" тесно связано с так называемой "скрытой
симметрией" атома водорода (см. [27], гл. I, § 5).
§11. Канонические преобразования
11.1. а) ------
q= у щи sinQ, р= V2mwPcosQ,
Предыдущая << 1 .. 67 68 69 70 71 72 < 73 > 74 75 76 77 78 79 .. 86 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed