Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Коткин Г.Л. -> "Сборник задач по классической механике" -> 79

Сборник задач по классической механике - Коткин Г.Л.

Коткин Г.Л., Сербо В.Г. Сборник задач по классической механике — И.: НИЦ, 2001. — 352 c.
ISBN 5-93972-058-7
Скачать (прямая ссылка): sbornikzadachpomehaniki2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 73 74 75 76 77 78 < 79 > 80 81 82 83 84 85 .. 86 >> Следующая

равен левой части (8) также и при а = 0. А в этом случае очевидно, что
#тах = л, интеграл по в вычисляется тривиально.
314 Ответы и решения [12.3
В этом приближении угол отклонения скорости частицы после рассеяния равен
нулю. Объясняется это тем, что действие силы на разных участках
траектории (в нулевом приближении это прямая К'М') частично, а в первом
приближении полностью компенсируется.
12.3. а) Для определения угла отклонения частицы нужно провести
разложение по а/Ер2 в (8) задачи 12.2 до второго порядка. Получаем
уравнение
$max + Sin#max + ^ |^тах + г> Sln 2$max^j = 7Г- (1)
Решая его с точностью до (Щ^ , находим1 угол отклонения
Х = 7Г-6"тах= =37г(-^-г) . (2)
Р
4 ' V /3 ) =37Г(йБ7.
Сечение рассеяния
da =ir\dp2\ = ^ad° (3)
' 1 ' 16 ЕХ5/2
Зависимость от х получается такой же, как при рассеянии на малые углы в
поле 7/г4, убывающем гораздо быстрее, чем U(г).
тт bdo
б) da =
8 ЕХ
з
в) При условии Ер2 ^ |&(^)| для всех в имеем вместо (10) задачи 12.2 с
точностью до второго порядка
/3 в
в = ш- Jb(e)d6 +J ъ2{в) de =
о о
J arcsin ^ при 0 < в < wm, г.
17г - arcsin -р- при вт < в <
1 Ищем бщах в виде бтах = + 9\ + 02 +..., где 9\ ~ ^ ^ д0
Уравнение (1) в нулевом
(та \
-- 1 sin во = 0, откуда в\ = 0; во втором приолижении Р
02 + (tm)9т cos 00 + | (^) 2 (во + \ sin 20о) = о,
откуда следует (2).
12.4] §12. Уравнение Гамильтона-Якоби 315
Если

[ Ь(в) d6 = тг(Ь) ^ О,
о
то сечение
*=щ
4 ЕХ3
такое же, как сечение рассеяния на малые углы в центральном поле
Ф)
и = тг-
^Зтг 1{Ь-
i2\
Если же (6) = 0, то da =-----\ -^-do.
8ЕХ 1 V 2
12.4. а) Переменные в уравнении Гамильтона-Якоби разделяются, если
выбрать сферические координаты с осью z, параллельной а. Обобщенные
импульсы
рг = тг = - у/2 тЕ - j3/r2, рд = тг2в = ±у//3 - 2тоа cos 6 - р^/ sin2 0,
(1)
= тг2ф sin2 0 = const.
Р2
Постоянную /3 = Ра + -лр- + 2та cos# легко найти, заметив, что 2 sin в
pi Н %г- = М2, где М - полный момент частицы; его удобно вычислить
sin в
при г ^ оо, в ^ tv - а (а - угол между и а), т. е. до столкновения: /3 =
2т(Ер2 - a cos а)
Согласно (1) падение в центр возможно при условии /3 < 0, или
р2 < (а/Е) cos а. (2)
Таким образом, падение возможно, если а < 7г/2; в этом случае сечение
падения а = (тга/Е) cos а. Усреднение по возможным направлениям а дает
тг/2
(а) = f ЗЩ. cos а • 2тг sin a da = jE. Интересно, что площадка,
опре-
tl/i Q Г J 2-Т I J
деляемая условием (2), представляет собой круг с центром на оси
пучка
частиц (хотя поле не обладает симметрией относительно этой оси).
316 Ответы и решения [12.5
б) ( Trpi cog а _ тт\^ и о < а < _ arccos _А_^
а = < Е АЕ2 РаЕ
О при ат < а < тт.
/ \ - Шк тгЛ4 _ тт Л2
W " АЕ 6AaE3 8Е2'
в)
' Г , ч 2
7га /7 / Vr(r) 1
- cos а - 27Гл / - при 0 < а < ат = тт - | а""""" 1
а =
- cos а - 2тт \ - при 0 < а < ат = тг - arccos --- I
V )
О при ат < а < тт.
, \ _ а , R , 37
^ 4? + V Е а '
г) ттЬ(тт - а)
а
Е
при условии, что Ь(тг - а) < 0.
12.5.
I ttR + ^ cos a, a cos а > -ER , ег = < Ь
0, а cos а < -ER ,
где а - угол между Vqq и а.
12.6. а) Используем те же обозначения, что и в задаче 12.2. Уравнение
начального участка траектории (г -> сю, в -> 7г)
7Г ОО
/ d$ _ / dr ^
7 у//3 - 2macos9 } г22mE - ft/г2 ПРИЧ6М /3 = 2ш(Ер2 - а). (2)
В случае /3 > 0 угол 0 убывает при изменении г от оо до rm и дальнейшем
возрастании до сю. Уравнение участка траектории после прохождения
минимального расстояния до центра
7Г Г
I d0 7г , / dr j-g-j
7 V73 - 2ma cos# 277? J r2 y/2mE - (3/r2
Очевидно, что при Ер2 а уравнение траектории (1) и (3) совпадает с
уравнением (11) задачи 12.2.
12.6]
§12. Уравнение Гамильтона-Якоби
317
Рис. 167
При (3 < 0 возможно падение в центр поля (заметим, что, согласно (2),
допустимы только значения /3 ^ -2та). При этом г монотонно убывает от сю
до 0. Угол в убывает от 7г до в\, при котором рд обращается в нуль
(участок траектории АВ; рис. 167). При этом /3 - 2тасовв\ = 0. Затем угол
возрастает до значения 27Г - в\ (участок траектории ВС)
00 7Г 0
1 dr I dd I dd ^
v.2
y/2rriE - (3r~2 J \//3 - 2macos6> J \//3 - 2macos9
В точке С импульс рд вновь меняет знак и в убывает до значения в\ в точке
D, затем вновь возрастает и т. д.
Уравнение всей траектории можно представить в виде
dr , цп , ,2п
= (-Ч* /
J г2 л/2 rriE - [3r~2 J \/ /3 - 2macos9 J \/ /3 - 2тасовв
г v в 01
{п = 0,1,2,...) (5)
Одному значению в (в\ < в < 2п - в\) соответствует бесконечно много
значений г (п может принимать любое целое неотрицательное значение, так
как интеграл в левой части (5) при г -> 0 неограниченно возрастает).
Таким образом, частица совершает бесконечно много колебаний между прямыми
BD и СЕ прежде, чем упасть в центр.
В случае малых прицельных параметров Ер2<^а оказывается тт - (9<С1, так
что в (5) можно заменить cos в на - 1 + ^(7г - в)2. В результате
получаем1
e = *-p)f^s(tm)[j=Aish(})Jf)]- (б)
1 Arshx = In (я + л/l + х2).
318
Ответы и решения
[12.6
Закон движения r(t) определяется так же, как в задаче 12.2. Если [3 > 0,
Предыдущая << 1 .. 73 74 75 76 77 78 < 79 > 80 81 82 83 84 85 .. 86 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed