Сборник задач по классической механике - Коткин Г.Л.
ISBN 5-93972-058-7
Скачать (прямая ссылка):
то справедлив закон, определяемый формулой (9) из задачи 12.2. Если [3 <
О, то
r(t) = v\/t2 - т2, v = у/213/то, -сю < t < т = ^/Щ/2Е, (7)
причем падение происходит в момент времени т.
Рис. 168
б) Если (3 > 0 (Ер2 > а), то
йв__________ = [ arcsin
l+2|a(l + sin0) Ь-arcsin:
< в < 7Г,
< 0 < 0т.
Если /3 < 0 {Ер2 < а), то
7Г 0 02
=Ь [ +21
dd
dr
\J[3 + 2ma(l + sin 0) 3 r2 ^2mE - [3/r2
где I - число полных колебаний по углу (от в\ до 02 и обратно),
совершенных частицей, знаки (±) для движения против (по) часовой стрелке
(рис. 168, а)
. Ер2
11 = - arcsm -
• Ер2
72 = тг + arcsm --.
Если /3 = 0 {Ер2 = а),
*(! + *"
tg 8
12.7]
§12. Уравнение Гамильтона-Якоби
319
Частица движется по траектории рис. 168,6, причем закон движения г =
/ О тр
= -у jfpt (t < 0 падение происходит при t = 0).
12.7. Полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби (см. [1] §48)
S = -Et
-pvp± J -
/3 - 2macos0 d0 - [ \ 2mE - dr.
sin2 в J V r2
Обобщенные импульсы те же, что и в задаче 12.4 а. Падение в центр
возможно, если [3 = 2m(Ep2 - a cos а) < 0 (что заведомо выполняется при
а2 < 2Ер2/а <С 1).
Уравнения траектории
[ Р<р d6
lfi = ±J --------1 =^=' (1)
sin2 6\ в - 2ma cos в-----
? =Tsh
I(3 - 2ma cos 0----------------------------------------------------------
-------(2)
sin в
rn =
0 2 mE
в общем случае не могут быть проинтегрированы в элементарных функциях. Но
качественное описание движения легко дать, если заметить, что уравнение
(1), связывающее между собой углы в и р, с точностью до обозначений
совпадает с уравнением траектории сферического маятника (см. [1], § 14,
задача 1). Поэтому частица движется так, что точка пересечения ее
радиуса-вектора с поверхностью сферы радиуса I описывает такую же кривую,
как и сферический маятник длины I с энергией, равной ^ и моментом
импульса, равным pv в поле тяжести д =-------. Эта кривая заключена
ml
между двумя "параллельными" окружностями на сфере 0 = 0\ и в = 02.
При условии о? < 2Ер2/а <С 1 уравнения (1) и (2) легко проинтегрировать:
2
320
Ответы и решения
[12.8
Из (3) видно, что частица, падая на центр, движется в области между двумя
коническими поверхностями в± ^ в ^ 02, вращаясь вокруг оси z, причем один
полный оборот вокруг оси z приходится на два полных колебания по углу в.
Для сферического маятника в этом приближении траектория замкнута
(представляет собой эллипс).
12.8. а) Уравнение траектории финитного движения (при котором нет падения
в центр)
у = 1 + ecosf(O), (1)
где
а константы Е и [3 удовлетворяют неравенствам Е < 0, [3 > 0.
Если 0 < [3 < 2та, то орбита "заполняет" область ABCDEF
(рис. 169); г\ ^ г ^ r2, ri 2 = ^ ^ в ^ 62, 6\ =
arcsin
' 1 ± е 2та
02 = 27Г - в\, т. е. проходит сколь угодно близко к любой точке этой
области.
Если [3 = 2та, то
/(0) = >/21ntg(0/4)+C'1 (2)
и траектория расположена внутри кольца г\ ^ г ^ Г2 (рис. 170).
Если [3 > 2 та, то траектория заполняет кольцо г г ^ г ^ Г2. В
частности, если [3 2та, то
f(e) = e + CAne+\c2o + lc2 + C2, (з)
12.11] §12. Уравнение Гамильтона-Якоби 321
где ( = та/13. Это - слабо деформированный прецессируюгций эллипс,
характер деформации которого связан с его ориентацией. Уравнение (3)
применимо и при в > (~2. Интересно сравнить его с результатами задачи
2.24.
12.9. Для движения в кольце г\ ^ г ^
2тг
[ _JB_ _ 27Г'И'
1_2щас08в 1
Для движения в области п ^ г ^ г2, @i ^ в ^ #2
dO п
=-= 7ГТ
1_2imcose
(п и I - целые числа).
12.10. Переменные в уравнении Гамильтона-Якоби разделяются, если
выбрать ось z вдоль вектора а (см. [1], §48, формула (48.9)). Движение
по радиусу t = АЩ / - при /3 > 0 такое же, как и движе-
Je-z-JL;
V 2 тг
ние частицы в кулоновом поле -а/г с моментом /3 и энергией Е. При /3 < 0
дБ
происходит падение частицы на центр. Уравнения траектории -- = const, до
&Pv
-XT: = const. Первое из них
др
[ pvd6
(Р = ± -------- =
sin2 в\ /3 - 2та cos в--------------
совпадает с уравнением траектории сферического маятника с энергией
/3/2ш?2 и моментом Mz = pv в поле тяжести g = -a/ml3, (см. [1], § 14,
задача 1). Второе уравнение связывает г и в. При анализе этого уравнения
можно также воспользоваться аналогией со сферическим маятником.
12.11. а) |Mz\ < у/mb/2.
б) Финитное движение возможно при любом Mz.
322 Ответы и решения [12.12
12.12. б) Полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби (см. [1], §48,
задача 1)
S = -Et + pvip + J pdOd? + J Pvi1l)dlP
где
г. 2
I'm/jp TT few tt t/-\ та + f3 F
Pt = ±,/T№-t/{(0), сад = -2 -
P% та - /3 F
Pv - ±\l 2^E ^C7?))' uri(rt) - ^rnrj2 mp + 2 r,~
Рис. 171
Траектория и закон движения определяются уравнениями
9S = я 9S_=r М = л
др ' dPv ' дЕ
т. е.
[ ^ _ [ dr> = в - - [ ^ -Р* [ dr> = с
J J md) 1/3 2 J t2pdO 2 J v2pdv)
-f+m [ d^ _i_ Ek f drl - л
4 J p^) + 4 J p^r,) ~ '
(1)
Для исследования характера движения нужно определить области допустимых
при данных Е, pv, [3 значений ? и г/. Графики эффективных потенциальных
энергий Щ(0 и Uv(fl) изображены на рис. 171.
12.13]
