Сборник задач по классической механике - Коткин Г.Л.
ISBN 5-93972-058-7
Скачать (прямая ссылка):
§12. Уравнение Гамильтона-Якоби
323
Если F = 0, то при -та < (3 < та (см. кривые а) и Е < 0 движение как по
?, так и по р финитно, при Е > 0 - инфинитно. С появлением малой силы .F
> 0 на графике C7f(C) появляется максимум (см. кривые Ь); при Uv min < Е
< [/f max движение по-прежнему финитно. В "плоскости pz" движение
ограничено областью Ci ^ С ^ Сг> Pi ^ Р ^ Р2 (рис. 172); сама же
плоскость pz вращается вокруг оси z с угловой скоростью ф.
Траектория заполняет область про- VS.---""''
странства, образуемую вращением фигуры ABCD вокруг оси z (см. также
задачу 2.36). При L^max < Е движение инфинитно.
С ростом F величина U^max уменьшается, a UVmm растет. Когда окажется Щтах
< Uvmin, финитное движение станет невозможным (при /3 < -та+ |(Fmp^p)1/3
экстремумы Рис. 172
max вообще отсутствуют).
12.13. В эллиптических координатах, р = (С2 - 1)(1 - р2), z =
<т?р,
и = \/Ъ2 - а2, потенциал тт __ Г00 при С > Со = Ь/сг, \ О при С < Со
зависит только от С, и переменные в уравнении Гамильтона-Якоби
разделяются (см. [1], §48).
Полный интеграл
S-
-Et + pv<p ± Д
"/J
2 та2Е
/3 - 2шсг2П(С) Р2
С2-1 (1-С2);
¦ огс ±
(1)
2та2Е -
1 _ р2 (]_ _ ^2
dp,
где
ЖС) = (С2-р2ЖС) = ^(0-
324 Ответы и решения [12.14
Для частицы, пролетающей через начало координат, р.- = 0. Из (1) получаем
р$ = ±
о , /3-2шст2Д(0 то2(?,2-р2) ¦
2та Е + ?2~[- = ?2-[ (2)
Pv = ±j2m<T*E-T^-t= ^ 2'Ч (3)
/3 т<т2(?2 - rj2) .
1 - г/2 1 - г/
В начале координат (г/ = 0, ? = 1)
\j2mo2E - /3 . .
7) = ±------------ , ? = 0, i = о(?р + pQ
= ор
mo-
il из условия
2Е \/2то2Е - /3
ш cos а то
находим /3 = 2то2Е sin а.
Область недостижимых значений р определяется условием
2то2Е - /3/(1 - rj2) < 0 или r/|>|cosa|.
Итак, движение происходит в области \р\ < cosa|, 1 < ? < ?о
(заштрихованная на рис. 173 область).
12.14. Переменные в уравнении Гамильтона-Якоби разделяются в
эллиптических координатах (см. [1], §48, задача 2 при од = - ад = а). Для
частицы, летящей из бесконечности вдоль оси z, постоянная /3 = = -2тЕр2 +
4гпао, где р - прицельный параметр.
При /3 < 0 траектория качественно не отличается от траектории частицы,
рассеиваемой в поле точечного диполя (см. задачу 12.66).
При /3 > 0 частица "падает" на диполь (т. е. проходит в своем движении
через отрезок O1O2) и вновь уходит на бесконечность. Если дополнительно
Prjivi) = 0 при г/i < 0, то частица движется в области, ограниченной
гиперболой р = pi (рис. 174).
12.15. В уравнении Гамильтона-Якоби
12.15]
§12. Уравнение Гамильтона-Якоби
325
Рис. 173
Рис. 174
отделяются время и угол <р\
S = -Et + Piptp + <5(r, z). (2)
Рассматривая далее только траектории, пересекающие ось z, положим pv = 0.
Разделить переменные г и в уравнении не удается, и мы будем искать
интеграл его приближенно, в виде разложения по г:
S(r, z) = S0(z) + гф(г) + Ya(z) + ¦ • ¦ (3)
Так как радиальный импульс
Рг = ^дг= + + ' '' ^
для частицы, летящей вдоль оси z (при г = 0), равен нулю, то для рас-
сматриваемого пучка частиц = 0. Подставляя (3) в (1) и приравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях г, получаем (ср. [2], § 56, задача
2)
S0{z)=pz, (5)
pa'(z) + а2 + ~^Ж2(г) = 0. (6)
4с
Вне линзы (при \z\ > а, Ж(z) = 0) из (6) следует, что
Р
a(z) = -при z < -а7 (7)
Р
a(z) = ТГ nP*1 z > а. (8)
2 + 02
326 Ответы и решения [12.16
Уравнения траекторий
dS W2 р ^
дСг,2 2(z + C1j2)2 1,2 ( }
- уравнения прямых, пересекающих ось z в точках -С\.2,' т. е. zq = -С\,
zi = - С2. Из (6) получаем
ра(а) - ра(-а) + J a2 dz + J M)2(z)dz = 0. (10)
CT(±a) = _JL (п)
Поскольку \zop \ а, из (7), (8) получаем
Хо
а
Оценим J а2 dz. Согласно (6) a(z) - монотонная функция. Поэтому
- а
f a2 dz < <С ptj(±a).
¦' zi,o
- a
Таким образом, из (10)
а
v~\+h = T^ I^2^z)dz = T (12)
\z01 Ac p J J
- a
Условие \zo i а действительно соблюдается, если a <C -ttj-
12.16. Все вычисления предыдущей задачи до формулы (6) вклю-чительно
применимы и к этой задаче. Замена а = f'/pf приводит (6) к виду
(1 + x2z2) f"{z) + = О,
а затем замена с
7Г " л , 7Г />/ \ 7(0
>^=tg?, "ТГ <?.<77, f{z) =
2 2' cos?
дает 7"(0 + А2г/(0 = 0,
^ри z, близких к С* 1;2; сг -*• сю, так что разложение (3) неприменимо.
Однако уравнения траекторий (9) остаются справедливыми и в этой области.
13.1]
§13. Адиабатические инварианты
327
где
4 с2>с2р2 Отсюда
а = sin ? + Л cos2 ? ctg(A? + а) и уравнение траекторий
95 = pr2X cos2 ? = в да 2sin2(A? + a)
или
г cos ? = В' sin(A? + a).
При г = 0 оказывается А?" + а = тгп, откуда а = - A arctg(>fZo) и точки
фокусировки
/ Т17Г А
xzn = tg (^arctg xzo + T).
В зависимости от величины А имеется одна или несколько точек фокусировки.
12.17.
S(q, q0, t, t0) = f(q, a(q, q0, t, t0), t) - f(q0, a(q, q0, t, t0), t0),
где f(q, a, t) - полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби, а
зависимость a(q, qo, t, to) определяется уравнением (системой уравнений
для случая многих степеней свободы)
df(q, a, t) _ df(q, a, t0) да да
§ 13. Адиабатические инварианты
13.1. E2l = const.
