Сборник задач по классической механике - Коткин Г.Л.
ISBN 5-93972-058-7
Скачать (прямая ссылка):
Q=w + ^sin2Q, Р = -P^j cos2Q.
В данном случае Р и Q - переменные действие-угол. Эти переменные удобнее,
чем р и q для решения задачи методом теории возмущений, если частота ш
меняется медленно: |w| <С со2 (см. задачу 13.10). б)
mw2
+ \j sinQ, p = \/2mwPcos Q,
Q = uj + F ^j cos Q, P = FV2mujP sin Q.
11.2. Ф(р, Q) = _Q(l + ln^).
11.3. Функция Ф((?1, 92, • • •, Qs, Pi, P2, ¦ ¦ ¦, Ps) определяет
каноническое преобразование, если det ^ 5* А 0.
oqidPk
294 Ответы и решения [11.4
11.4. Пусть Q = qcosa - psina, Р = qsina + pcosa. Тогда {Р, Q}p,q = -{q¦
p}p,qsm2 a + {p, q}p,qcos2 a = 1. Для системы с одной степенью свободы
этого достаточно, чтобы преобразование было каноническим.
11.5. Нетрудно сообразить (и это подтверждается последующими
вычислениями), что каноническое преобразование должно быть близко к
тождественному и члены ах2Р и ЬР3 в производящей функции малы. Чтобы
разрешить соотношения
р = Р + 2ахР7 Q = х + ах2 + 3 ЪР27
определяющие каноническое преобразование, относительно х up, заменяем в
малых членах х на Q и р на Р:
p = P + 2aQP, х = Q - aQ2 - ЗЬР2. (1)
Подобным же образом поступаем, выражая функцию Гамильтона в новых
переменных:
H'(Q, Р) = Ц- + + aQ3 + pQP2 + 2aQP2 - ato2Q3-
-3bu2QP2 + члены четвертой степени по Q, Р.
Полагая а-аш2 = 0, /3+2а-ЗЬш2 = 0, обратим в нуль и члены третьей
степени. Таким образом, в указанном в условии задачи приближении Q = =
Acosixt, Р = - oMsinwt и согласно (1) х = Acosixt - аш~2А2 - (/3 + +
аоо~2)А2 sin2 cot (ср. [1], § 28).
11.6. Приведя функцию Гамильтона к виду, рассмотренному в задаче 10.4,
получаем х = Q -^QP2, где Q = Acoseot, Р =
8tJo 8сэ0
= - u04sina;?, и = loq + д-А2 (ср. [1], §28).
Zloq
пл- H,{P7Q)=H{PQ).
При X = 4sin(o;t + ip), Y = 0 - осциллятор совершает движение по эллипсу
х = A cos Л sin(wt + ip), у = A sin Л cos {ujt + ip).
11.8]
§11. Канонические преобразования
295
11.8. Для того чтобы сделать запись менее громоздкой, удобно временно
положить т = ш = е = с= 1.В окончательных выражениях эти множители легко
будет восстановить. Преобразование задачи (11.7) представляет собой
поворот в плоскости хру и урх, поэтому оно сохраняет вид части функции
Гамильтона, равной
1 ( 2 2 , 2 I 2\
~(Х +у +рх+ру).
Добавка же, возникающая от членов ^Ж2х2 - Жхру, равна
^Ж2(Х2 cos2 Л + Ру sin2 Л + 2ХРу sin Л cos Л) +
+ Ж(Х2 - Ру) sinAcosA - A^(cos2 А - sin2 А )ХРу. Недиагональный член XРу
исчезнет, если положить
sin2 А - cos2 А + Ж sin A cos А = 0, т. е. tg2A=-^.
Ж
После несложных преобразований функция Гамильтона приводится к виду Н = ^
(Р2 + Р2 ctg2 А) + ^ (X2 tg2 А + У2). (1)
Таким образом, переменные X, Y испытывают гармонические колебания с
частотами, равными соответственно
м = u,t6A = (|^) -f|j,
"2=шс'8л=\АМ1ЕГ+Е
(ср. [2], §21, задача). Каждой из координат Х7 Y соответствует движение
по эллипсу; произвольное колебание - суперпозиция двух таких движений
(ср. задачи 6.36, 11.7).
Интересно, что при Ж -> 0 оказывается А = 7г/4 (а отнюдь не А = 0). Это
значит, что даже при очень слабом поле Ж "нормальными" оказываются
колебания, "поляризованные по кругу". Колебания же, отвечающие
координатам X(Y) при А = 0, которые в отсутствие поля Ж были бы
296 Ответы и решения [11.9
линейными, при наличии поля Ж медленно изменяют направление поляризации.
Если магнитное поле переменное, то к функции Гамильтона (1) следует
добавить частную производную по времени производящей функции
Л ^ х PxPy \ , хРх+уРу
Ф = -тиху ctg Л - tg Л +------------
(выразив ее через X, У, Р\ ¦ Ру) (см. также сноску к решению задачи
13.25).
11.9. Полагая в каноническом преобразовании предыдущей задачи
. ~ , ZiOyfLO1}
UJ = tg 2А = -----------------, получим
СО "I- - U)2
Н' = Ш И + %pt + р') + 1 + "2 Г2 + Р~2).
где Hi 2 определены в задаче 6.36.
11.10. Преобразование (Л = 7г/4)
qsl = ^Xs + N^?)' qs2 = ^iYs + N^)
сохраняет вид функции Гамильтона (ср. с задачей 11.7)
Н
Ро , V'' \pIi + Pi2 , Nmui2
2 Nm
S = 1
E[Ps 1 +Ps2 IV mw: 2 2 ¦
l'l , f[ Ph + Pj. , NmJj 2 .
2iVm ^ L 2iVm 2 1 s + s !
S = 1
Колебание, соответствующее Xs = .Acos(a;st + /3), есть
xn = sin (wst + nips + /3),
V2
а соответствующее Ys = В cos(ujst + /3) - есть колебание
11.18] §11. Канонические преобразования 297
11.11. Новая функция Гамильтона Н' = шР\. Уравнения движения в новых
переменных имеют вид
А = А = Q2 = 0, Qi = и.
Как изменится вид функции Гамильтона Н', если Ж зависит от времени?
11.12. Предложенное преобразование р = аР, г = Q/a есть преобразование
подобия.
11.13. Градиентное преобразование = A+V/(r. t), tp' = можно представить
как каноническое преобразование г' = г, Р' = Р- | V/,
Of
Н' = Н - | - с помощью производящей функции
Ф(г, Р) = гР - |/(г, t). 11.14. Ф (q,P)=qP-f(q,t).
11.15. 6)FT(q, Q) = ^(q + Q) + §(q-Q)2-,
в) FT(q, Q) = ^ [2qQ - (q2 + Q2) coslot}.
? oill UJi
11.16. a) Q = r + 5a, P = p сдвиг системы как целого на 5а (или сдвиг
системы координат на -5а).
б) С точностью до бесконечно малых первого порядка включительно
