Всего лишь кинематика - Копылов Г.И.
Скачать (прямая ссылка):
отсчета {рис. 3)?
Преобразования Лоренца
Обозначим новую энергию и новый импульс частицы Е' и Р', а движение
прежней системы отсчета относительно новой будем характеризовать
скоростью v и фактором у = 1/^1-о8. Оказывается, что ?' н Р' выражаются
линейно через Е и Р, т. е. представляют собой сумму старых энергии и
импульса, умноженных на некоторые коэффициенты:
E'-yE + yvP, \ }
P'^yP + yvE. \
Как видим, коэффициенты зависят только от скорости движения старой
системы отсчета относительно новой. Из этих формул (их именуют
преобразованиями Лоренца) видно, что в новой системе отсчета энергия (и,
само собой, импульс) больше, чем в старой.
Другое дело, если прежняя система отсчета, в которой были получены числа
Е и Р, двигалась (как это
Рис. 4, Преобразование Лоренца.
В отлнчне от предыдущего рисунка, наблюдатель Н, по мнению наблюдателя
Н', мчится со скоростью о й обратную сторону.
обнаружили наблюдатели в новой системе отсчета) назад по отношению к
движению тела (рис. 4). Тогда перед скоростью v надо поставить знак минус
и формулы
34
преобразования Лоренца примут вид Е' = yE - yvP, \
Р' ==yP~yvE. |
(7)
Ну а как быть, если выяснилось, что направление частицы и направление
движения прежней системы отсчета не имеют меж собой ничего общего?
Скажем, мы
<Г
Рис. 5. Общий случай преобразования Лоренца.
Направление наблюдателя И к направление частицы V образуют, с точки
прения наблюдателя угол б; справа похвэан пмпульс РА частицы Ч с точт!
зрения наблюдателя Н1.
считали, что покоимся, и измерили энергию Е и импульс Р какой-то частицы.
А кто-то другой заметил, что мы сами движемся не туда, куда двигалась
частица, а в сторону, под углом 5 и со скоростью v (рис. 5). Какими
покажутся ему энергия ?' и импульс Р' частицы?
Движение наискось
Правило здесь тоже несложное. Надо изобразить импульс Р в виде вектора -
стрелки, которая показывает туда, куда двигалась частица, а по длине
условно равна величине импульса. Скажем, если импульс 5 ГэВ, то, приняв 1
см за 1 ГэВ, нарисуем стрелку длиной 5 см. Чем больше нмпульс, тем (при
заданном масштабе) длиннее вектор. Затем на том же чертеже изобразим
другой стрелкой наше собственное направление и собственную скорость. Так
как скорость и импульс - величины разные, то масштаб скорости можно взять
какой угодно. Теперь спроектируем вектор им-
35
пульса на вектор скорости: опустим из конца стрелки импульса
перпендикуляр па стрелку скорости (или на ее продолжение) и на
направление, перпендикулярное скорости (рис. 6). Получим два новых
вектора. Их
V
Рис. 6. Преображавшие Лоренца (перцам сталия).
называют: продольная составляющая импульса (обозна-чается Ру , равна Р
cos 0) и поперечная составляющая (обозначается PL, равна Р sin {)). Так
вот, прежнее правило (6) относится, оказывается, только к продольным
составляющим импульса (там импульс Р был направлен по v и просто совпадал
со своей продольной составляющей), т- е- правило преобразования
продольной составляющей Р. и энергии Е таково:
Е' ¦ УЕ yvP . I
Р'" TP,,-i-vo?. ) {0)
Значит, нам надо подсчитать у --=1,1" I-а-, и тогда из первой формулы
получим энергию частицы, а из второй - продольную (опять-таки
продольную!) составляющую импульса. После пересчета она стала, скажем,
равной уже 8 ГэВ. Изобразим ее на рис, 7. А как быть с поперечной
составляющей? Она не меняется. Значит, стрелку Р± надо бережно, не
поворачивая, перенести с рис. 6 на рнс. 7 и приложить ее к острию стрелки
р\. На то место, куда попадет острие Plt и придется острие нового вектора
импульса частицы. Теперь измерим в прежнем масштабе (1 см -1 ГэВ) длину
стрелки -
36
это и будет величина импульса. А направление? Стрелка дает и направление
импульса, т. е. покажет, куда движется частица по мнению неподвижного
наблюдателя
Рис. 7. Преобразование Лоренца (вторая стадии).
Наблюдатель Н передаст эстафету наблюдателю /Г; поперечная компонента
любо jo импульс* но меняется при этом, продольная же меняется по
двучленной формуле; наблюдателю Н* остается собрать импульс из двух
частей.
(так условно называют наблюдателя, который выяснил, куда и как движемся
мы). Если мы вспомним свойства прямоугольных треугольников, то можем
написать формулы для нового угла ft' и нового импульса Р\
Итак, общий вид преобразований Лоренца таков *):
Разумеется, прежде чем пользоваться этими формулами, надо разбить импульс
на продольную и поперечную составляющие и после пересчета опять-таки
"склеить" нэ новой продольной и новой (она же преж-
*) Если в этих формулах (9) всюду энергию Е заменить временем /, а вектор
импульса Р вектором местоположения г, мы получим формулу для пересчета
места и времени какого угодно происшествия из одной системы отсчета в
другую. Именно в таком виде (т. е. с г при были впервые написаны Лоренцем
эти преобразования. Но нам формулы с г и / не будут нужны, н под
преобразованиями Лоренца мы будем подразумевать уравнение (9).
37
няя) поперечной составляющих целый импульс. Когда Я и у по направлению
