Основы квантовой оптики - Клаудер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
конечный объем квантования (Q = L3) и перепишем основное динамическое
уравнение (6.22) для функций от х и v, которые определяются следующим
образом:
оо
А(х, v) = | e2ntxiA(x, t)dt. (6.72)
- оо
Если, как обычно, положить со = 2nv, то (опуская по-прежнему индекс
поперечности Т) находим
- г'соА = - Ё, (6.73а)
- /соЁ = - V2A - j. (6.736)
Исключая Ё, получаем
(V2 + со2) А = - j, (6.74)
т. е. просто неоднородное векторное уравнение Гельмгольца.
Нам нужно найти решение этого уравнения, отвечающее распространению в
пространстве для некоторых не вполне общих условий. Пусть источник
ограничен определенной областью пространства (тепловой источник или
лазер); нас интересуют значения поля вне источника. Точнее
говоря, нас интересует поле в тех точках пространства, где
j (х, t) = 0 при всех t и где, следо-
вательно, j (х, v) = 0. Разобьем все пространство на интересующую нас
область R, свободную от источников, и дополнительную к ней область R',
которая целиком
152 ГЛ. 6. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
или частично заполнена источниками. Для точек, лежащих внутри R, имеем,
очевидно,
А(х, v)= J 6(х-у)А(у, \)d3y, (6.75)
R
где интегрирование производится по области R.
Введем теперь функцию Грина G(x, у, v), для которой
(V3 + со2) G (х, у, v) = (V2 +co2)G (х, у, v)=-6(x-y).
(6.76)
Существует несчетное количество таких функций Грина, одна из которых
есть, конечно, простейшая функция Грина G0, введенная в гл. 1. Ниже мы
выберем наиболее удобную для нас функцию Грина Подставляя (6.76) в (6.75)
и учитывая, что в области R источников нет, получаем
А (х, v)= j [G(x, у, v) (V3 + со2) А (у, v)-
R
- A(y,v)(V2 + co2) G(x, у, v)]d3y =
-J4r[c(x' У. Ч^АДу, v)-
R
- А (у, v) G (х, у, v) j d3y =
= J [G (x,y, v) A (y, v) - A(y, v)-?- G (x, y, v)] dS.
S (6.77)
В последнем выражении интегрирование по у проводится по поверхности S,
разделяющей R и R'. Обычно источник сосредоточен в конечном объеме, так
что область R может содержать удаленные участки пространства.
В этом случае можно было бы ожидать, что поверхностный интеграл в (6.77)
содержит вклад от "бесконечно удаленной сферы". Напомним, однако, что,
согласно принятому предположению, система находится
§ 5. ХАРАКТЕРНЫЕ СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВЕН. ЭВОЛЮЦИИ 153
в большом объеме квантования L3 и на нее наложены периодические граничные
условия. Такое пространство замкнуто и не имеет границ в полной аналогии
с окружностью в одномерном случае или с тором - в двумерном.
Особенно удобно выбрать функцию G(x, у, v) таким образом, чтобы она была
равна нулю, когда точка у лежит на S [как в последней строке соотношения
(6.77)]. В рассмотренном в гл. 1 простом примере, в котором поверхность S
совпадала с плоскостью z = 0, мы нашли подходящую функцию G методом
изображений. Однако для более общей поверхности S этот метод не пригоден.
Наметим в общих чертах стандартное доказательство того, что требуемая
функция Грина (удовлетворяющая однородным граничным условиям Дирихле)
существует в весьма общем случае. Пусть не содержащая источников область
R, по которой происходит интегрирование в (6.77), является связной
областью. Грубо говоря, это означает, что любую пару точек в R можно
связать некоторой линией, целиком лежащей внутри R.
Будем теперь рассматривать область R как полость в смысле теории
электромагнитного поля. Тогда можно попытаться найти (скалярные)
собственные функции - стоячие волны фэт(х), являющиеся собственными
решениями уравнения
У2ф,г(х) + ш2"ф"(х) = 0 (6.78)
с граничным условием, состоящим в том, что (х) обращается в нуль на
границе S области R. Можно также рассматривать (6.78) как уравнение на
собственные значения для некоторой одночастичной квантовомеханической
задачи. В шредингеровском представлении уравнение на собственные значения
энергии в конфигурационном пространстве имеет вид
_ М + v М ^п W = Еп^п М-
Полагая теперь Г(х) = 0 в области R и V(x) = +оо в области R', мы
приходим к квантовой задаче о свободной частице, заключенной в "ящик"
(определяемый областью R) с граничным условием ip(x) = 0 на "стенках
154
ГЛ. 6. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
ящика" (определяемых поверхностью S). Соответствую-
2 12
щее уравнение совпадает с (6.78), где ш" = 2т?'"/й. Для обеих задач, как
известно, существует полная система ортонормированных функций п = 1, 2,
..удовлетворяющих соотношению
оо
2 ФЛх)Фге(у) = Мх-у)- (6-79)
п=\
Пользуясь этой информацией, мы можем сразу же написать искомую функцию
Грина нашей исходной задачи
/г = !
т \ V ^(х) ^(у) IR яо\
G(x, у, г)==У j 2 • (6-8°)
^ со* - со
Она удовлетворяет уравнению (6.76) и, очевидно, обращается в нуль, если у
(или х) лежит на 5. Следует отметить, что все обычные резонансные
свойства полости без потерь проявляются в членах, входящих в G. В
квантовой задаче каждый такой член по-прежнему выполняет свою
традиционную роль выделения частот.
Теперь, убедившись в существовании нужной нам функции Грина, легко
вывести наиболее важные следствия этого факта. В частности, уравнение
