Основы квантовой оптики - Клаудер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
принимает некоторый вполне определенный вид в силу ограничения,
налагаемого каноническими коммутационными соотношениями. Здесь именно
конкретизация состояния р отбирает физически существенный эффект
однородного члена, в частности свойство давать нуль при усреднении.
Продолжая аналогию между (6.64а) и классическим с-числовым решением,
рассмотрим второй вопрос. Как бы мы ни выбрали величину (а[я(к)), вклад
первого члена в полное решение всегда является аналитическим сигналом,
так как co=jk|>0. При этом естественно задать вопрос, при каких условиях,
налагаемых на среднее от тока, выражение (6.64а) представляет собой
аналитический сигнал. Нетрудно совершить фурье-преобра-зование по времени
соотношения (6.64а); это дает
<A(k, v)> = 6(v-v*)<a'"(k)> +
+ /(2n)_1(2to)_,/2[nd(v-vft) + /(v-vA)_1](/j,(k, v)>, (6.646)
где vs = со/2я = 1 к 1 /2л. Поскольку оператор j (х, /) эрмитов, а
векторы поляризации действительны, имеем
(/гД-k, -| v|)) = </t(-k, - | v | )/ = (/л (к, | v |))'', откуда
<M-k, - I v |)> =
= (2П)-' (2йсоГ'/г (М + v,)-' <Л(-к, -| v |)) =
- (2я)"! (2йсо)-'л (| v I + v,)-1 </л (к, | v 1))*. (6.65)
§ 4. ХАРАКТЕРНЫЕ СВОЙСТВА ВРЕМЕННОЙ ЭВОЛЮЦИИ 149
Таким образом, если средний ток (/л(k, v)) не равен нулю для некоторого к
и v > 0, то всегда найдется мода (например, -к), в которой есть
отрицательные частоты. Поэтому, строго говоря, выражение (6.64а)
представляет собой аналитический сигнал лишь для исчезающего среднего
тока.
Однако в квазимонохроматическом приближении, которое часто является
достаточным для квантовой оптики, разброс A k разрешенных значений к в
среднем токе чрезвычайно мал по сравнению с центральным значением к.
Следовательно, относительная амплитуда любой отрицательно-частотной части
выражения (6.64) чрезвычайно мала, а именно имеет величину порядка Akjk.
Пренебрежение такими членами часто называют приближением "волн
вращающейся поляризации".
А. Описание в конфигурационном пространстве
Обратное преобразование наших основных операторных решений в
конфигурационное пространство производится наиболее изящно, если мы
представим, что объем квантования есть все пространство; тогда можно
положить, например,
А (х, 0 = (2я)"3'2 [ e!k'x^(k, t)d3k (6.66)
[что соответствует выбору нормировки Q = (2я)3 в (6.23)]. В этом случае
из (6.61а) следует
А (х, /)= - J [D (х-у, О А"1 (у) + D (х - у, t) А1п (у)] d*y+
+ | DR (х - у, t-t') J (у, t')d3ydt', (6.67)
где введены обозначения
D (х, /)= - (2я)-3 | eik-x si" ^ d3k -
= - (4я|х |)-1 [6 (jx | - 0 - 6 (|х | + 01. (6.68) Dr (х, t) = (4л |х
|)"'б(|х | - t) t> 0,
= 0 t< 0. (6.69)
150
ГЛ. 6. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Две D-функции, определенные выше, представляют собой функции Грина для
волнового уравнения. Аналогичное уравнение выполняется также и для
электрического поля Е(х, t). Напомним, что все эти уравнения относятся к
поперечным операторным полям; как уже говорилось, для простоты мы
опускаем индекс Т, явно указывающий на поперечность.
Первые два члена в (6.67), очевидно, определяют решение однородного
волнового уравнения (которое соответствует физическому решению в
отсутствие тока J). Следовательно, можно переписать (6.67) в виде
А (х, t) = Ain (х, t) + J Dyj(x - у, t - t') J (y, t') (Py dt',
(6.70)
аналогичном (6.616). Как указывалось выше, если ток J(y, t)
пропорционален единичному оператору при всех у и t, то решение имеет вид
А (х, 0 = А"1 (х, 0 + С (х, t), (6.71)
где С(х,t) есть некоторое поперечное с-числовое поле.
Заметим, что физический смысл средних значений поля, таких, как (А(х,/)),
непосредственно переносится сюда из проведенного выше рассмотрения в
импульсном пространстве. В частности, хотя однородный член Ain(x,t)
необходим в операторном решении, его ожидаемое значение может равняться
нулю. В последнем случае среднее поле полностью определяется полем,
возникающим за счет источника. Вместе с тем следует отметить, что
однородный операторный член отвечает физически важным полевым флуктуациям
вакуума, в том числе и в тех областях, в которых не сказывается действие
источников.
Для большей ясности рассмотрение в конфигурационном пространстве мы
проводили довольно смело. Строго говоря, А(хД) не является эрмитовым
оператором; для получения такового необходимо сначала выбрать гладкую
пробную функцию f(x), которая при желании может быть сильно локализована
вблизи любой точки, и образовать оператор
Af{t)= J / (х) А (х, t)d3x,
§ 5. ХАРАКТЕРНЫЕ СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВЕН. ЭВОЛЮЦИИ 151
который уже является настоящим эрмитовым оператором. Имея в виду это
обстоятельство, мы и впредь будем опускать требуемые процедуры
сглаживания.
§ 5. ХАРАКТЕРНЫЕ СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ЭВОЛЮЦИИ
Свойства операторов поля по отношению к эволюции в пространстве столь же
важны в квантовой оптике, как и по отношению к эволюции во времени. В гл.
1 обсуждались некоторые аспекты пространственной эволюции для
классических явлений. Для изучения квантового случая возьмем снова
