Основы квантовой оптики - Клаудер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Кроме
138
ГЛ. 6. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
того, из (6.30) и (6.32) следует соотношение /к • SL = - - /к • =
р, которое является формулировкой закона
сохранения тока в импульсном пространстве.
С учетом (6.28) и (6.29) два остающихся (динамических) уравнения
принимают вид
dT{k)= -8r(k), (6.34а)
8Г (k) = k2$tT (к) - (к), (6.346)
где две компоненты независимы и на них не наложено никаких связей. В этой
формулировке видно фундаментальное преимущество перехода к импульсному
пространству: степени свободы поля, отвечающие различным значениям
индекса к, являются динамическими независимыми.
Необходимо, впрочем, сделать существенную оговорку к высказанному
утверждению. Поскольку Ат(х), Ет(х) и jr(x) - эрмитовы поля, из
соотношений (6.23) вытекает
[^r(k)jf = ^г( -к), (6.35а)
[8г(к)1+ = 8г(-к), (6.356)
f^r(k)]+ = ^r(-k). (6.35в)
Следовательно, в этих переменных поведение величин с индексом -к
полностью определяется поведением величин с индексом + к. Это означает,
что лишь половина всего к-пространства нумерует динамические независимые
переменные.
Векторы поляризации. Следует сделать несколько замечаний по поводу
единичных поперечных векторов и е2. Они не определены однозначно и должны
лишь удовлетворять условию e4(k)-e2(k) =0. Если ввести другую пару
единичных векторов, повернутую по отношению к первой на угол 0 в
плоскости, ортогональной к, то уравнение (6.266) останется неизмененным.
Для векторов, которые мы молчаливо предполагали действительными,
направления ei и е2 отвечают направлениям линейной поляризации k-й моды.
Можно также работать с
§ 3. ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ. НЕРЕЛЯТИВИСТСКИЙ АНАЛИз139
левой и правой круговыми поляризациями, введя векторы
е+ (к) = у=- [в] (к) + ге2 (к)], (6.36а)
е- (к) = у= [е, (к) - /е2 (к)] (6.366)
Такие векторы можно построить для любой пары действительных векторов
поляризации ei и е2. Этому комплексному базису отвечают две поперечные
компоненты поля
У± (к) = е± (к) ¦ У (к), (6.37)
которые в свою очередь соответствуют компонентам с правой и левой
круговой поляризацией. Если изменить базис, повернув пару ел и е2 на угол
0, то мы получим новые компоненты с круговой поляризацией, связанные со
старыми простым соотношением
У'± (к) = е±шУ± (к). (6.38)
В любом случае два поперечных направления соответствуют некоторому выбору
ортогональных направлений поляризации для поперечных мод поля излучения.
Индексы поляризации. Два ортогональных направления поляризации удобно
обозначать индексами, и мы условимся, что греческие индексы (как правило,
К) принимают значения 1,2 или +, - соответственно для базисных векторов с
линейной или круговой поляризациями. Следовательно, любое поперечное
векторное поле Ут имеет компоненты У L где подразумевается, что базис
выбран соответствующим образом. В частности, с помощью поляризационных
компонент наши динамические уравнения (6.34) записываются в виде
dl{ k)=-<f[(k), (6.39а)
H(k) = k2^l(k)-fl(k). (6.396)
Таким образом, независимыми оказываются динамические переменные,
отвечающие не только разным значениям к, но и разным поляризациям.
140
ГЛ. 6. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Для простоты ниже мы опускаем индекс Т у всех поперечных полей.
Коммутационные соотношения. Прежде чем решать динамические уравнения
(6.39), сформулируем соответствующие граничные условия. В классической
теории граничные условия представляют собой просто начальные значения
функций и В квантовой теории все эти переменные являются операторами, и
мы должны выбрать операторы s4-\ и в соответствии с каноническими
коммутационными соотношениями.
Для простоты и надежности представим себе, что электромагнитное поле
заключено в большой кубический ящик размером L3, и наложим на наши
решения периодические граничные условия. Интегрирование по объему [как
в соотношении (6.23)] производится по ячейке
размером L3, причем нормировка выбирается так, чтобы Q = L3. Чтобы
выполнялось условие периодичности, следует считать, что в разложениях
Фурье могут фигурировать лишь значения к с компонентами
kj = П/, (6.40)
где пj, / = 1,2,3, - произвольные целые числа. Однако мы принимаем, что
любая компонента поля равна нулю, если все п,- = 0, т. е. полностью
исключаем из рассмотрения точку к = 0.
В силу соотношений (6.35) независимые динамические переменные
нумеруются лишь половиной точек
k-пространства. Теперь важно обеспечить в таком полупространстве
выполнение следующего обычного коммутационного соотношения между
эрмитовыми каноническими переменными:
~ [s4-K (k) е'к'х + ^(к) e~ik'x, SK, (к') eiV"-\-%\, (к') е~'к'-х\ =
= - Й би'бкк'.
Выделяя в явном виде зависимость от времени, нетрудно видеть, что эти
соотношения будут выполняться для
§ 3. ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ. НЕРЕЛЯТИВИСТСКИЙ АНАЛИЗ 141
всех х лишь в том случае, если положить
[^(к, t), Е\,{к', Oj = Kl(k, t), <^,(к', /)] =
= -/йбиЛк'- (6.41)
а все остальные одновременные коммутаторы считать равными нулю. В этом
последнем соотношении к и к' могут пробегать все к-пространство.
