Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Клаудер Дж. -> "Основы квантовой оптики" -> 44

Основы квантовой оптики - Клаудер Дж.

Клаудер Дж., Сударшан Э. Основы квантовой оптики — М.: Мир, 1970. — 430 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovikvantovoyoptiki1970.djvu
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 50 .. 129 >> Следующая

Предполагается, что эти соотношения выполняются в любой момент /, в
частности они должны выполняться в качестве начального условия для
решения.
Наряду с этим мы будем предполагать, что для всех совпадающих времен t
имеют место соотношения
(к. 0. /v(k'> 0] = 0, (6.42а)
[<Гя(к, /), fk,(к', 0] = 0. (6.426)
Эти соотношения не означают, что оператор si (или <§) должен
коммутировать с / при несовпадающих временах; они отражают лишь то
обстоятельство, что источник f возникает за счет системы (например,
совокупности атомов), динамически независимой от самого поля
излучения. Все физические модели строятся так, что эти
два условия выполняются1).
Гамильтониан. Соответствующий квантовый гамильтониан нетрудно найти,
исходя из известного классического выражения. Мы можем также вывести
гамильтониан, опираясь на наши уравнения движения и коммутационные
соотношения (6.41) и (6.42). Оба способа приводят к выражению, которое
можно записать в виде
Ж = Т 2 R W (к) + (к) (к) -
-tm-fl{k)six{k)-fx{k)^i{k)\, (6.43)
где со2 = к2 и вычтена бесконечная постоянная (энергия нулевых колебаний)
для того, чтобы гамильтониан Ж
¦) Впрочем, соотношение (6.426) может не выполняться в моделях, где
свойства среды рассматриваются феноменологически и оператор тока / пли
поляризации среды & выражается через операторы поля <8, т. е. & = а<? 4-
+... . - Прим. ред.
142
ГЛ. 6. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
был хорошо определен. Поучительно убедиться в том, что динамические
уравнения (6.39) действительно являются операторными уравнениями в
гейзенберговском представлении, в котором записан приведенный выше
гамильтониан. Так как в общем случае внешний источник явно зависит от
времени, наш гамильтониан также зависит от времени, Ж = 2@(t).
В. Операторы рождения и уничтожения
Вместо того чтобы работать с & и s&, можно ввести соответствующие
операторы рождения и уничтожения и выразить через них различные величины.
Введем определение
ак (к) = (2йсо)-'/з [со-я^ (к) - iS'Л (к)], (6.44а)
(к) = (2fico)-1''2 [co^J (к) + i<?\ (к)]. (6.446)
Если для ясности снова ввести зависимость от времени, то из (6.41)
следует, что для всех точек к-пространствэ
К (к, 0. 4'(к'> 0] = *иЛк'* (6.45а)
\ак (к, t), ах,{к', 0] = K(k, t), а\,{к', Щ = 0. (6.456)
Таким образом, мы пришли к одновременным коммутационным соотношениям для
бесконечного числа операторов рождения и уничтожения, которые обсуждались
в предыдущей главе.
В этих переменных преобразованный гамильтониан принимает вид
Ж-= 2 (к)~Ш'2Ш(к) (к) + fx(к) 4 (к)]}, (6.46)
Я, к
где
^(k) = 4(k)^(k) (6.47)
есть оператор числа квантов на (X, к)-й моде. С помощью (6.46) мы
выразили гамильтониан всего электромагнитного поля в виде суммы
гамильтонианов независимых осцилляторов с приложенными к ним внешними
силами, причем каждой точке k-пространства и поляризации X соответствует
один осциллятор. При этом на
§ 3. ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ. НЕРЕЛЯТИВИСТСКИЙ АНАЛИЗ 143
к) наложено ограничение ?\ (к) = /А( - к); это является следствием того
обстоятельства, что мы, как уже говорилось выше, используем только
половину к-прост-ранства.
Как указывалось в гл. 5, для того чтобы гамильтониан Ж свободного поля
был хорошим оператором, оператор полного числа квантов
N=2iNx{ к) (6.48)
К, к
сам должен быть хорошим оператором. В данном случае мы предполагаем, что
как N, так и Ж - хорошие операторы. Это обеспечивает выполнение
коммутационных соотношений (6.45) во все моменты времени.
Согласованность теплового распределения. В заключение убедимся, что
свободное поле излучения (в ящике!) действительно удовлетворяет условию
(5.98), необходимому и достаточному для того, чтобы матрица плотности р
теплового распределения была хорошо определенной Используя соотношение
со2 = к2, соотношение
(6.40) и неравенство1)
I п | = (п2 + п\ + п2)'/* > ^ ( I ", I + I "2 I + I "3 |) = S (п)' можно
показать, что
^_рАо> _ 2 ^ е~2лрА In I/L k п
<2^е-2яР*2<п№ = 2|^Ь^) 3- l]. (6.49)
П
Таким образом, эта сумма конечна, что и требовалось показать.
*) Это неравенство эквивалентно утверждению, что
144
ГЛ. 6. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
§ 4. ХАРАКТЕРНЫЕ СВОЙСТВА ВРЕМЕННОЙ ЭВОЛЮЦИИ
Явное уравнение для можно получить непосредственно из (6.39),
исключая $Ч(к, /); оно имеет вид
^(к) = -со2^(к) + /,(к). (6.50)
Это есть просто основное уравнение для осциллятора, на который действует
внешняя сила.
Еще более простой вид имеет уравнение для пу(к, (), которое также следует
из (6.39):
iak (к) = соак (к) - (2йсо)" 4lfk (к). (6.51)
Оператор а\ (к) подчиняется уравнению, сопряженному
с уравнением (6.51).
Решение уравнения (6.51) можно написать сразу:
t
а,(к, 1) = е~шак( к, 0) + i {2Ь&)-'ие~ш j eiai'fK (к, t') dt',
(6.52a)
где в качестве начального момента мы произвольно выбрали t - 0. Если же
выбрать / = -оо в качестве начального момента, то получается следующее
важное решение:
a* (k, t) = a{n(к, t) + i(2h">r\-m j em'fK{к, t')dt'.
- оо
(6.526)
Здесь
аГ(к, t)^e~Mta{n{к) (6.53)
обозначает форму оператора уничтожения в отдаленном прошлом, когда
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 50 .. 129 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed