Основы квантовой оптики - Клаудер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
1. Однако практически
можно сказать, что |(2|0)|"s0, если |2j3> 1. С точки зрения физики это
означает, что величина энергии IЕ \ = lli{p2 + <72} для соответствующего
сдвинутого осциллятора [ср. (7.17)] должна быть много больше расстояния
между квантованными энергетическими уровнями, которое для осциллятора с
единичной частотой в точности равно Ь.
Свойства когерентных состояний как собственных векторов. Выше уже
отмечалось, что состояния |г) являются собственными состояниями оператора
уничтожения а с собственным значением 2, т. е.
а|2) = 2|2>. (7.33)
166 гл. 7. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПО КОГЕРЕНТНЫМ СОСТОЯНИЯМ
Легко видеть, что когерентные состояния являются единственными
собственными состояниями оператора а. Из (7.33) следует
(z'\a\z) = z(z'\z) (7,34а)
и комплексно сопряженное равенство
(г | а+1 г') = г" {г \ г'), (7.346)
Это соотношение формально можно представить в виде
соотношения между сопряженными состояниями
(г I а+ = z* (г |. (7,35)
Заметим, однако, что (7.35) имеет в точности тот же
смысл, что и более привычное соотношение (7.33).
Если F{a) обозначает функцию от а более или менее общего вида, то
из (7.33) следует
F(a)\z) = F(z)\z). (7.36а)
Аналогично для достаточно общей функции G(af) из
(7.35) следует
(z I G (af) = G (z*) (z I, (7.366)
что в сущности эквивалентно (7.36а).
Рассматривая равенство (7.33), естественно поставить вопрос, существует
ли какое-нибудь собственное состояние (назовем его |Я;?)), такое, что
а+|Я; ?) = Я|Я; ?). (7.37)
Легко показать, что ни одного такого состояния не существует. Используя
выражение, сопряженное (5.536), получаем, что из (7.37) должно вытекать
соотношение
<га|оЧЯ; ?) = \Гп(п-\\1\ ?> = Л </г | А,; ?) (7.38)
для п = 1,2, ..., тогда как для п - 0 из (7.37) мы получили бы
(О |а+ IЯ; ?) = Я(0|Я; ?) = 0. (7.39)
Если Я = 0, то из (7.38) следует (га-1|Я;?)=0, п = 1, 2, ..., т. е. |Я;
?) = 0. Если Я Ф 0, то (0|Я; ?)= 0. что после повторного применения
(7.38) дает (га|Я; ?) = 0 для л = 1,2, ..., и поэтому 1 Я; ?) =0.
Следовательно, не существует ненулевых состояний, удовлетворяющих
соотношению (7.37).
§ 2. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА КОГЕРЕНТ. СОСТОЯНИИ 167
Непрерывность и аналитичность. Рассмотрим теперь некоторые вопросы,
касающиеся непрерывности когерентных состояний |г). Так как \z) = \p,q)
есть основное состояние сдвинутого осциллятора (7.15а), то физически
правдоподобно, что состояния \z) и |z') приблизительно совпадают для
соседних точек в комплексной плоскости, которые тогда, как легко
представить интуитивно, соответствуют почти идентичным сдвигающим силам.
В справедливости этих аргументов можно убедиться, воспользовавшись нормой
вектора [см. (5.4)], на которой основана обычная мера "расстояния" между
двумя векторами. В общем случае мы имеем соотношение
!||2)-!z/)iP = 2[l-Re(2|2/)]<2(|2| + |2'|)U-2/|, (7.40) которое
доказывается следующим образом. Если А = - In (г |г') = '/21 2 - г' I2 -
г Im zz\ то
/ А А*\ 1
2 - е~А - е~А* = I | + J I е~х dx - j {Ае~Ак + А*е~А*к) dx<^
4) о / о
1 1
<2 | | Ле-л*|сЕс<2 J | А \ dx = 2 | А |< 2 (| Re А | +
о о
+ I Im А I ) - I 2 - г' |2 + | 2*2' - 2'*2 I < 2 ( I 2 I + I 2' | ) I 2 -
2' |,
откуда и вытекает (7.40). Отсюда видно, что, когда 2 сходится в
комплексной плоскости к z', соответствующие векторы j2) сходятся к |2Х)
"по норме", или, как еще говорят, "сильно" сходятся.
Рассмотрим далее непрерывность векторов |г) в матричных элементах.
Предположим, что |ф) означает произвольный вектор гильбертова
пространства, и рассмотрим функцию
оо
Ф(2) = (2 |ф) = ехр(- у! 2 1ф). (7.41)
л-0 '
где 2 принимает значения из комплексной плоскости. Из неравенства Шварца
[ср. (5.3)] следует, что любая
168 гл. 7. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПО КОГЕРЕНТНЫМ СОСТОЯНИЯА\ такая функция ф(г)
ограничена-.
| ф (z) I = | (г | ф) К <ф |г|))'/2 = || | ф) || < оо (7.42) и непрерывна
по г в силу соотношения | ф (г) - г|) (г') | = | "2 | - (z' [) | ф> |<
<|||2)-|2') || • II! ф) IK
<{2(|2| + |2Ч)|г-г'|}1/2|||ф)11, (7.43)
вытекающего из (7.40).
Функции ф(г) имеют, однако, даже более сильные свойства, чем
непрерывность. Сумма (7.41) абсолютно сходится для всех комплексных 2.
Поскольку | {п|ф) | ^|| |ф) ||, это означает, что
оо оо
<7Л4>
п=0 V 4 п = 0 V
последний ряд сходится, так как отношение п-го члена к (п-1)-му стремится
к нулю как \z'\/Yn- Но всюду абсолютно сходящийся ряд по комплексной
переменной определяет целую функцию. Таким образом, выражение
оо
ехр (д [ 2 |2) ф (2) = f (z") = (п IФ) (7.45)
п-0 ^
определяет целую функцию от 2* для всякого вектора |ф). Иначе говоря,
можно положить
ф(г) = ехр(- ~\z^f{z'). (7.46)
Это означает, что любая функция ф(г) задается [за исключением общего
множителя ехр(-'/г |^|2)] целой аналитической функцией. Отсюда с
очевидностью следует, например, что каждая функция ф(г) есть бесконечно
дифференцируемая функция от 2 и от 2* (или от р и q, где 2 = (q + ip)/
|/2й). Допустима, однако, не всякая це-
§ 2. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА КОГЕРЕНТ. СОСТОЯНИИ 169
