Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Клаудер Дж. -> "Основы квантовой оптики" -> 45

Основы квантовой оптики - Клаудер Дж.

Клаудер Дж., Сударшан Э. Основы квантовой оптики — М.: Мир, 1970. — 430 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovikvantovoyoptiki1970.djvu
Предыдущая << 1 .. 39 40 41 42 43 44 < 45 > 46 47 48 49 50 51 .. 129 >> Следующая

влиянием источника по предположению можно пренебречь. Поскольку здесь мы
принимаем, что ток fx(k,t) задан, в обоих случаях с тем же правом можно
считать "заданными" проинтегрированные по времени выражения. Например,
можно положить
ah{k, t) = a?{k,t) + ЖК{к, t), (6.54)
§ 4. ХАРАКТЕРНЫЕ СВОЙСТВА ВРЕМЕННОЙ ЭВОЛЮЦИИ 145
где заданный неэрмитов оператор Ж% связан с током соотношением
t
Ж\{k, /) = /(2ficorVto< j ешУк(к, t')dt'. (6.55)
- оо
Мы видим, что Ж\ зависит от источников f % нелокально по времени.
Мы уже отмечали сохраняющийся характер исходного четырех-вектора тока и
предполагаемые свойства коммутации (6.42) поперечных компонент тока с
переменными, характеризующими поле излучения. Другое важное условие,
которому должен удовлетворять внешний ток, вытекает из следующих
соображений. Наше решение для аДк, /) должно удовлетворять одновременным
каноническим коммутационным соотношениям
(6.45) при всех /. Так как а^ уже удовлетворяют этим соотношениям,
отсюда следует, что для Ж% должны выполняться условия
[аЩк, t), Ж{,{к', *)] + [J^ (к, t), а'"+(к', 0] +
+ [Жх{к, t), ЖЬ(к', *)] = 0 (6.56а)
и
[а[п (к, t), Жх,{к', Щ + \ЖХ{к, t), а{"{к', t)] +
+ \ЖХ{к, t), Жк,(к', f)] = 0 (6.566)
вместе с сопряженными равенствами. Чтобы решение (6.52) действительно
существовало, оператор ХДкД) должен удовлетворять указанным условиям, а
это налагает ограничения на внешний ток fy.{k,t) при несовпадающих
временах.
По существу предыдущие равенства дают формальное решение выбранных нами
динамических уравнений. Однако два довольно очевидных и важных частных
случая заслуживают специального рассмотрения. Если внешний ток f ь равен
нулю при всех t, то равен нулю и оператор Жъ и мы получаем просто решение
для свободного поля
аДk, t) = е~ша'п (к). (6.57)
146
ГЛ. 6. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Другая простейшая возможность состоит в том, что внешний ток
пропорционален единичному оператору при всех t. Следовательно, оператор
тоже пропорционален единичному оператору, так что можно положить
где ci есть заданная с-числовая функция. Это дает обычное решение с с-
числовым внешним источником
творяют необходимым одновременным коммутационным соотношениям (6.45).
Более того, только в этих случаях (т. е. когда ток f%{k,t) пропорционален
единичному оператору при всех t) операторы поля (k, t) и <%K,(k't t) в
один и тот же момент времени t могут составлять неприводимое семейство
операторов. То же самое полностью относится и к операторам ак (к, t) и
(к', t), а следовательно, и к их форме в отдаленном прошлом а1? и а(?+.
Если в некоторый момент t пропорциональность между током f %{к, t) и
единичным оператором нарушается, то из уравнения (6.42) непосредственно
следует, что операторы МДк, /) и (к', t)
должны быть приводимыми, как и следовало ожидать.
Наконец, из (6.54) и (6.55) можно непосредственно получить закон
изменения других величин. Например, для величины
Жк{ k, t) = ск (к, О,
(6.58)
0 + 4(-к> 0] (6.60)
имеем
к' [^У\е~Шах(к) + еша^ {-к)] +
= cos co^i" (к) - со 'sin соt&'i (к) +
t
+ J со"1 sin со (t - t') fi (к, t')dt'. (6.61а)
- ОО
§ 4. ХАРАКТЕРНЫЕ СВОЙСТВА ВРЕМЕННОЙ ЭВОЛЮЦИИ 147
Объединяя первые два члена, получаем
t
"9^ (к, t)=^s4^{k, t) + | со-1 sin со (t - t') (к, t')dt'.
- oo
(6.616)
Эти соотношения и дают искомые решения уравнения (6.50). Решение для
электрического поля <§% получается, согласно (6.39а), дифференцированием
по времени:
(k, t) = cos (о№? (к) + со sin (к) -
t
- | cos со(/ - /') (к, t') dt', (6.62а)
- со
или, если объединить первые два члена,
t
<$к(к, t) = gg (к, 0 - J cos (r) (* - t') fx (к, О dt'. (6.626)
- оо
Средние значения и аналитические сигналы. Рассмотрим теперь два трудных и
часто возникающих вопроса. Хотя мы уже потребовали, что наши решения
должны удовлетворять каноническим коммутационным соотношениям, этим
отнюдь не заканчивается физическая конкретизация какого-либо частного
решения Например, наблюдаемые значения поля распределены со средним
значением
(<^\(k, /)) = Sp |рс?я (к, <)], (6.63)
которое определяется с помощью матрицы плотности р, представляющей
состояние системы. Особенно удобно работать с полем аДк,/), с которым
линейно связаны остальные величины. Для среднего значения этой величины
имеем следующее основное соотношение:
<<Д(к, 0) = е~ш(а% (к)) +
t
+ /(2Ьа>)~'1ге~ш J t'))dt'. (6.64а)
148
ГЛ. 6. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Если бы матрицу плотности выбрать, например, так, что (*4" (к)) = 0, то
соотношение (6.64а) будет иметь вид классического (т. е. с-числового)
решения волнового уравнения с такими источниками (/>.), что решение
обращается в нуль в отдаленном прошлом. Основной вывод, который можно
отсюда сделать, заключается в следующем. В классической теории с помощью
надлежащих граничных условий для самих полей можно подобрать физически
подходящее решение, в частности такое, которое обращается в нуль в
отдаленном прошлом до того, как были включены источники. В квантовой
теории аналогичное операторное решение никогда не обращается в нуль, а
Предыдущая << 1 .. 39 40 41 42 43 44 < 45 > 46 47 48 49 50 51 .. 129 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed