Основы квантовой оптики - Клаудер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
(Q + IP) | г|)> = "Q) + i (Р)) | ф) (7.21а)
или, после деления на У2Ь, к условию
а\ \|з) = (а) | \|з). (7.216)
') Случай гф 1 отвечает осцилляторам с круговой частотой ю = г-1, Здесь
мы будем рассматривать случай единичной круговой частоты.
162 ГЛ. 7. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПО КОГЕРЕНТНЫМ СОСТОЯНИЯМ
Таким образом, состояния с минимальной неопределенностью являются
собственными векторами оператора уничтожения. Как мы сейчас покажем, эти
собственные векторы и есть когерентные состояния.
В. Собственные векторы оператора уничтожения
Третий аспект вопроса о когерентных состояниях, который мы хотим здесь
обсудить, заключается в том факте, что эти состояния являются
собственными векторами оператора а = (Q + /Я)/ ]/2й. Это свойство
является одной из причин (но отнюдь не единственной) их полезности в
квантовой оптике.
Мы заведомо знаем один собственный вектор оператора а. Это основное
состояние (0); соответствующее собственное значение равно нулю. Поэтому
рассмотрим соотношение
О = U [р, q] а ! 0) = U [р, q] ctU [р, q\~l U [р, q] | 0) =
Р, q), (7.22)
п- (q + /р)
УШ
пользуясь (7.7) и определением а. В обозначениях (7.2) можно записать
(7.22) в виде
a\z) = a\p,q) = ^y^\p,q)^=z\z). (7.23)
Тем самым мы установили, что состояния | p,q) = = U[p, q]\Q)
действительно являются собственными векторами оператора уничтожения.
Докажем, наконец, что состояния \ р, q) представляют собой когерентные
состояния, определяемые соотношением (7.1) [или (7.3)]. Наиболее простой
способ доказательства состоит в использовании разновидности формулы
Бейкера - Хаусдорфа, которая в том случае, когда коммутатор Z = [X, У]
коммутирует как с X, так и с У, записывается следующим образом:
ех+г==е-ч,рс.у]ехегш (7.24)
Доказательство формулы (7.24). Прежде всего из (7.9) получаем
* V = (/Л-у) Д = ехр (егХе-у) еу =
= exp (X + [У, X] ) еу = e~zexey.
§ 1. КОГЕРЕНТНЫЕ СОСТОЯНИЯ. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА 163 так как Z = [X, У]
коммутирует с X и У. Итерируя, находим
(eYexf s ехр (- М) ЛлУ = "V (ЛТ"',
что приводит к рекуррентному соотношению |3" = п + р"_| для Р". Так как
Р, = 1, то отсюда следует, что р" = п(п + 1)/2. Заметим, наконец, что
lim (eYinex<nY~ lim ехр f - Щ exeY = "-'/'И- yVV,
ОО n ->¦ 00 \ ^ /
Тем самым равенство (7.24) установлено.
Представим показатель экспоненты в выражении для (7[р, 9] в виде
t [pQ - gP] __ I [p (a + aT) + /<7 (a - a+)] ^ b V2E
(q + ip)af (g - ip) a s
V2fi р'Й
s 2a+- 2'a. (7.25)
Применяя соотношение (7.24), в котором положим X = 2a+ и У = - 2*а,
получаем
7/ [/?, 9] = ехр (га1 - 2*а) =
= ехр ( -^ | z I2) ехр (га+) ехр (- z*a). (7.26)
Следовательно, учитывая свойство а? |0) = 0, р= 1, 2, ..., находим
U [р, ?] I 0) = ехр (- y I z I2) ехР (Z°Y) ехр (- z*ct) | 0) =
= ехр (- j | г |2) ехр (га+) | 0) =
оо
= ехр (- Y \ z |2) ^ ^ (а+)" | 0) =
п = О
оо
-exp(-^UF)S^I">. P-И)
п=0 ' ''
где в последнем равенстве мы воспользовались соотношением (5.52) для
того, чтобы ввести |я).
164 ГЛ. 7. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПО КОГЕРЕНТНЫМ СОСТОЯНИЯМ
Соотношение (7.27) устанавливает искомую связь когерентных состояний
(7.1) с основными состояниями сдвинутого осциллятора, состояниями с
минимальной неопределенностью и собственными состояниями оператора
уничтожения; получение этой связи и было нашей задачей. Сделав эти
традиционные замечания, которые послужат для ориентировки, мы должны
перейти теперь к более широкому изучению свойств когерентных состояний с
тем, чтобы заложить надежный фундамент для их использования в квантовой
оптике.
§ 2. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА КОГЕРЕНТНЫХ СОСТОЯНИЙ ДЛЯ ОДНОЙ СТЕПЕНИ
СВОБОДЫ
Многие из обсуждаемых далее свойств когерентных состояний являются
простыми обобщениями таких свойств, проследить которые легче всего на
примере одной степени свободы, и поэтому мы продолжим наш анализ на этом
уровне.
А. Предварительные замечания
Сосредоточим внимание на записи когерентных состояний с помощью
комплексной переменной в виде
оо
|2} = ехр(- ~ |2 |2)^ -^-1 п) (7.28а)
О
и сопряженных состояний в виде
оо
z| = exp (-||2Т)2 (7.286)
Мы уже неявным образом установили, что все коге-' рентные векторы jz)
являются нормированными. Действительно, в силу унитарности оператора U[p,
q] из (7.3) следует
(z\z) = (0\U[p, q]~' U [р, q] |0> = <010> = 1. (7.29)
§ 2. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА КОГЕРЕНТ. СОСТОЯНИЙ 165
Определим более общий матричный элемент {г\г') для двух когерентных
состояний:
и-0
- ехр(- у] 212 + 2*2' - J | г' |2). (7.30)
Это соотношение можно записать также в виде <2 | г') = ехр | - у [ I 2 |2
- 2*2' - 2'*2 + I 2' |2 - {z'z' - z'*z)J | = = ехр | - J12 - 2' |2 + у
(2*2' - г'*г) | =
= ехр { - у | г - 2' |2 + tlm (2V)}, (7.31)
откуда непосредственно вытекает, что
|(2|2')| = еХр|-у|2-2'|2|. (7.32)
Последнее выражение, очевидно, никогда не равно нулю. Таким образом,
совокупность когерентных состояний |г) со всеми возможными комплексными 2
есть семейство нормированных состояний, в котором никакие два состояния
не ортогональны друг другу, поскольку для любых 2 и г' имеем 0 < j (г|2')
