Основы квантовой оптики - Клаудер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Разумеется, истинный смысл соотношения
(7.48) определяется формулой для матричных элементов
(А, | ф) = ^ J (А, 12) (z | ф> d2z (7.49)
для произвольных |А) и |г|)). Потому для доказательства соотношения
(7.48) сосредоточимся на соотношении
(7.49), в котором подынтегральное выражение есть обычная функция.
') Впервые разложение единицы вида (7.48) с целью образования
функционального представления гильбертова пространства было использовано
Клаудером [7.4]. В своем эвристическом выводе соотношения (7.48) мы
следуем этой работе.
172 ГЛ. 7. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПО КОГЕРЕНТНЫМ СОСТОЯНИЯМ
Элементарное доказательство соотношения (7.49) производится
непосредственно. Используя разложение
(7.41), получаем, что желаемый результат имеет вид
оо
(Я,|г|)> = ^ J ef22exp(-|z |2) ^ Л/7 {К \т)(п\ гр>. (7.50)
т, п= 0
Если поменять местами суммирование и интегрирование и ввести полярные
координаты, т. е. 2 = reie, d2z = = rdrd 0, то, очевидно,
оо
^ ^ (К \т) (п I тр> (m! п\)~'!2 X
т, п=0
оо 2л
^ J J rm*neiQ{n~m)exp(- г2) г dr dQ -
о о
оо оо
= 2 ^ (Я, | п) (п | г|)) (/г!)-1 | r2n+x ехр(- г2) dr = п = О о
ОО
= 2 (А, I /г) (/г | г|}) = (А, | а|з), (7.51)
п = 0
что и требовалось показать.
Строгое доказательство соотношения (7.49) проводится несколько по-
другому, причем главным моментом является обоснование перестановки
пределов. Покажем сначала, что
= d2z | (2 | г|)) |2.
С помощью стандартных теорем для любого конечного R легко находим
к 2л <х> R 2л
± j J rdrddl (z li|j) \2 = ~ ^ I J rdr X
0 0 m, n=0 0 0
X (г|) I m) (n I r|j) (ml n\)~'!z rm+n exp (- r2) =
00
= ^ I Yre
л=0
§ 2. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА КОГЕРЕНТ. СОСТОЯНИЯ 173
где
R
Уп(Ю = 2(/г!)~' J r2n+1exp(- г2) dr.
о
Очевидно, 0 < yn(R) < 1 для всех п и R, в то время как lim yn(R) = 1 для
всех п. Поскольку произведение (п |гр)
R-> оо
квадратично суммируемо (т. е. вектор |гр) нормируем), то легко показать
(в силу равномерной сходимости приведенных ниже рядов), что
со
(г|) | г|)> = ^ | (п | г|)) |2 =
п~ О
со
= ^ lim \(n\q) \2yn{R) =
CO
= lim V I <" |-Ф) |2y"(/?) = d2z \ (z |i|j> |2;
таким образом, мы получили искомое соотношение. Соответствующий результат
для (A,j\p) получается в силу линейности. Использованный способ
доказательства соотношения (7.49) заимствован из работы Баргманна [7.6].
Соотношение (7.48), которое, как мы показали, является искомым
"разложением единицы" по одномерным проекционным операторам, позволяет
автоматически получить (на основе канонической процедуры Дирака) ряд
свойств, перечисленных ниже и относящихся к соответствующему непрерывному
представлению гильбертова пространства.
Представители (representatives) векторов: (г|ф) для всех [ гр).
Скалярное произведение
j <Рг{к\г)(г№). (7.52)
174 ГЛ. 7. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПО КОГЕРЕНТНЫМ СОСТОЯНИЯМ
Представители операторов'. {z\&\z') для произвольного оператора
Преобразование вектора
{z | Я | г|)) = J' d2z' (2 | Я | г') <2' | ф>. (7.53)
Преобразование оператора
(2 | | 2") = ^ J (2 2') (Z' | Я2 ! 2"). (7.54)
Соответствующий канонический набор разложений векторов и операторов
дается следующими соотношениями: Разложение вектора
I г|)> = ^ J d22 | z) (г | ф). (7.55)
Разложение оператора
^ = / d22,d222 | 2j) <2j | Я | 22) <22 |. (7.56)
Соотношения (7.55) и (7.56) можно рассматривать как формулы обратного
преобразования от функционального представления гильбертова пространства
по когерентным состояниям к абстрактному представлению.
Воспроизводящее ядро. Одна из главных особенностей функционального
представления, основанного на переполненном наборе состояний, состоит в
появлении воспроизводящих ядер.
Пусть в (7.53) есть единичный оператор /. Тогда получаем
(2|г|)} = ~ j d2z'(z\z')(z'\i!p). (7.57)
Это означает, что представитель (2|ф) любого вектора удовлетворяет
интегральному уравнению с воспроизводящим ядром
Ж (2; z') = (2 | z') =
= exp | - y I 2 |2 + z'z' - у | 2' |2 j. (7.58)
Далее, если положить |ф) = \z"), то из (7.57) получаем (2 I 2") = 1 J dV
<2 | 2') <2' | 2"), (7.59)
I 2. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА КОГЕРЕНТ. СОСТОЯНИЙ 175
т. е. ядро является решением интегрального уравнения, порождаемого им. По
существу уравнение (7.59) есть условие идемпотентности, которому
удовлетворяет ядро Ж. Это значит, что Ж ведет себя подобно проекционному
оператору при действии на произвольные квадратично интегрируемые функции
от 2 (и от г*)\ к представлению же гильбертова пространства ') относятся
лишь те из функций, которые удовлетворяют соотношению (7.57).
Всякая функция, являющаяся представителем операторов (проще говоря,
матричный элемент) (z\$\z')t удовлетворяет аналогичным интегральным
уравнениям. Полагая в (7.54) либо Ль либо Л2 равным /, получаем
<2 | Л |z") = ~ j d2z' (z |z') (z'l&l z") =
= i J d2z' (z\3S\ z') (2' | z"). (7.60)
Как и (7.57), соотношения (7.60) являются очевидными следствиями
основного разложения единицы (7.48). Но поскольку
(z\z')?=0 при z ф z', (7.61)
то эти соотношения в действительности являются ограничениями, которым
