Большие системы. Связность, сложность и катастрофы - Касти Дж.
Скачать (прямая ссылка):
с k слагаемыми. Числу k в топологии соответствует нульмерное число Бетти
комплекса k, которое обозначается как Ро-Все рассмотренные группы Ср, ZP,
Вр являются примерами конечно порожденных свободных групп, так как между
образующими любой из них не могут существовать линейные зависимости.
Однако выполнение свойства "быть свободной" для фактор-группы Нр не
обязательно.
В общем случае Нр может быть представлена как прямая сумма двух частей,
из которых одна является свободной группой, а другая нет. Для пояснения
этого соображения запишем Нр в виде
Hp = Gp(r)TorHp,
где Gp-свободная группа, а ТогЯр- подгруппа кручения группы Нр. Любой
элемент h группы Тог Нр обладает тем свойством, что nh = 0 для некоторого
целого числа п. В терминах границ и циклов это означает, что элемент h
может быть записан в виде h = zp -f Вр (так как h е Нр), при этом
существует п, такое, что элемент
nh - nzp + пВр
должен уже содержаться в Вр (нуле фактор-группы). Отсюда следует, что
хотя zp ф Вр, тем не менее для некоторого значения п должно выполняться
nzp^Bp., Такое своеобразное поведение закрученных циклов характеризуется
подгруппой ТогЯр.
Элементы свободной группы Gp не могут вести себя подобным образом: если
zpeGj и zp ф Вр, то и nzp ф. Вр при любом ненулевом значении п. Группа
G°> очевидно, должна состоять из слагаемых вида / (число слагаемых должно
равняться числу различных образующих Gp), в то время как подгруппа ТогЯр
должна состоять из слагаемых вида /т (если / - множество целевых чисел,
то Jm - группа вычетов ,по модулю т) для некоторых т. Это происходит
потому, что группы, подобные /т, являются аддитивными абелевыми группами
со свойством h^Jm<$=$>mh = 0. Каждая подгруппа
80
Связность структуры больших систем
группы Тот Нр должна быть изоморфной некоторой Jm для подходящего т.
Число образующих (число свободных образующих Нр) называют р-м числом
Бетти комплекса К и обозначают рр.
р-ДЫРЫ
Геометрическое изображение комплекса, имеющего тривиальную гомологическую
структуру, было даио на рис. 3.1. Для этого комплекса Hi - 0, так как в
его состав включен треугольник а2- Если удалить внутренность треугольника
02 и оставить только его ребра, то такое изменение в строении комплекса К
вызывает соответствующее изменение в группе Ни А именно, теперь Н\ - ]
потому, что появилась единственная образующая группы Н\ вида
a!~ai + au
которая является циклом, но не является границей (<тг удален).
Следовательно, факт появления дыры в К, ограниченной 1-симплексами,
проявляется в том, что группа Hi приобретает единственную образующую.
Такую дыру в комплексе К будем называть 1-мерной дырой. Пусть теперь
комплекс К состоит из двух треугольников без внутренних частей. В этом
случае группа Hi будет изоморфна прямой сумме двух групп коэффициентов J,
т. е. Hi ф/. Аналогично, если геометрическое изображение комплекса К
имеет одну сферическую дыру (т. е. дыру, ограниченную сферой), то
получим, что Hi обладает единственной образующей Если для комплекса К
существует группа Н% - J ф J, то это означает, что К имеет в точности две
2-мерные дыры.
Нам хотелось бы особо подчеркнуть тот факт, что свободная группа Gp
интерпретируется как алгебраическое представление наличия /7-мерных дыр в
комплексе К. Точное число Этих дыр задает р-е число Бетти.
Рассмотренный выше анализ ^-связности предназначен для изучения
топологической структуры пространства "между дырами воображаемого
многомерного швейцарского сыра". Подгруппу кручения Тог Нр, если она
нетривиальна, трудно интерпретировать в таком контексте, однако для нее
можно найти другую интерпретацию.
Пример
Обозначим грани игральной кости символами у1, и2, у8, v\ о5, v6.
Сопоставим их с вершинами некоторого 5-снмплекса, э е качестве комплекса
К будем рассматривать этот симп-
Связность структуры больших систем
81
леке и все его грани, например типичная 1-грань - это ^симплекс {v'v!y,
где i ф /. Зададим индуцированную ориентацию К с помощью естественного
упорядочения вершин. Теперь проведем серию экспериментов, в которых
игральная кость бросается до тех пор, пока не повторится одна и та же
грань. (Последовательность + {у'> v'} будем в алгебраических
преобразованиях считать равной -{v1, у'}.) Любой результат серии
последовательных бросаний можно рассматривать как элемент градуированной
группы цепей
с.=с0е Q 0 с2е с3е с4е с5.
Заметим, что границей последовательности <12 3> является 1-цепь <12>,
<23>, <31>.
Вначале предположим, что экспериментатор может наблюдать любую возможную
последовательность и серии последовательностей. Следовательно, в этом
случае в градуированной группе цепей каждый цикл является границей и
поэтому
Нр = 0, р = 1, 2, 3, 4,
т. е. гомология такого комплекса К тривиальна.
Теперь предположим, что экспериментатор использует помощника, который его
обманывает (подделывая записи). Допустим, что в результате обмана
последовательность <12 3.) не встречается ни сама, ни в качестве грани
