Большие системы. Связность, сложность и катастрофы - Касти Дж.
Скачать (прямая ссылка):
структуру), но и, как легко показать, нильпотентен, так как д(дср) = О в
Ср_2, или, что то же самое, д2=0 (тривиальноеотображение).
Для случая, изображенного на рис. 3.1, имеем
<9*02 = д (доа) = д (trj - of + of) = *= д (х2х3) - д <*1*з) + д (х{х2) =
"= <*з> - (х2) ~ "*з> - <*?" + <*2> - (xi) = 0.
Так как д: Cp->Cp_i - гомоморфизм, то образ Ср относительно д должен быть
подгруппой Ср-\. Для обозначения этого образа будем использовать
следующие символы: im д или Вр-1, или дСр. Из нильпотентности д вытекает,
что dBp-i = 0 в Ср_2, или, что то же самое, d(imd) = 0.
Назовем р-циклами те цепи ср е Ср, у которых границы исчезают (т. е. дср
= 0). Такие цепи образуют подгруппу группы Ср, обозначаемую символом Zp и
являющуюся ядром гомоморфизма -д. Очевидно, что элементы Вр, или, что то
же самое, дСр+и являются циклами и, следовательно, fipCzZp. Фактически же
Вр является подгруппой Zp.
Элементы Вр называют граничными циклами (они являются циклами в обычном
или тривиальном смысле). Те элементы Zp, которые не являются элементами
Вр, можно
¦Связпоеп структуры больших систем
77
отождествить с элементами фактор-группы Zp/Bp. Любой ¦элемент этой
фактор-группы имеет вид zp + Вр, и если вы-БРать один представитель,
например zp, из этого класса эквивалентности, то его можно обозначать
\гр]. Будем говорить, что два p-цикла zlp и z2p гомологичны (часто пишут
•г], ~ z?), если zlp и z2p различаются только р-границей, т. е. 2* - zp е
Вр. Легко показать, что таким образом задаваемое 'отношение на множестве
циклов является эквивалентностью. Фактор-группа Zp/~, построенная по
отношению быть гомо-'логичным, - это фактор-группа Zp/Bp, групповая
структура
Рис. 3.2. Действие нильпотентного оператора д на градуированной группе
Заштрихованная область, по форме напоминающая глаз быка, представляет
группу Вр ' а внутреннее кольцо, окружающее эту область, - группу
циклов Z^.
которой определена операцией "+" на элементах zp + Вр. Й этой групповой
структуре множество Вр действует как нуль, т. е.
(zp + Вр) + Вр = zp-\- Вр
для всех zp.
Фактор-группа Zp/Bp называется р-группой гомологий и обозначается как
Нр = Zp/Bp, р = 0, 1, ... , п.
Если учесть, что группа Zp - это ядро гомоморфизма d(Zp = = кёг д), то
группу гомологии можно представить следующим образом:
Нр - kerd/imd.
(c)перация д на градуированной группе С. может быть записана в виде
последовательности
?0Ф сг(r) ад... срФ q,*".,. 0 с..
Схематически эта операция изображена на рис. 3.2. Когда Нр = 0, фактор-
группа 2Р/&В имеет единственный класс эквивалентности и им является
группа Вр; каждый цикл zp е Вр, т. е. каждый цикл является граничным.
Когда же
78
Связность струкщм больших систем
Нр ф О, в фактор-группе существует более чем один элемент и, значит,
должен быть по крайней мере один цикл, который не является граничным
циклом. Для примера, изображенного на рис. 3.1, имеем #1 = 0, так как
единственным 1-циклом является комбинация ст{ - а\ + <т^ (и ее кратные),
которая представляется в виде до2. Поскольку С3 тривиальна, то и В2 тоже
тривиальна, а так как Лт2 ф 0, то и Z2 тривиальна. В силу этих условий Яг
= 0. Если Нр = 0, то говорят, что гомология в размерности р тривиальна.
Если говорят, что "гомология тривиальна" и не указывают значения р, то
подразумевается, что Нр = 0 для всех значений р, отличных от нуля. Эта
последняя группа всегда нетривиальна, за исключением случая, когда
комплекс К дополнен симплексом, множество вершин которого пусто.
Можно показать, что для случая, представленного на рис. 3.1, гомология
тривиальна, а Я о ф 0. Действительно, полагая границу вершины нулевым
элементом группы для любой цепи Со вида
с0 = m (*i) + m2 (х2) + m3 <дг3>,
получим, что цепь Со должна быть 0-циклом, т. е. Co&Zo. Однако вершины Хи
х2, х% образуют часть линейно-связной структуры в том смысле, что
существуют такие 1-цепи с,, с', что
(х2) = (*i) + дсь (х3) = fo) + dc'i
(действительно, достаточно положить хотя бы - of, с[-ст^). В результате
имеем
с0 = z0 = (mi + m2 + m3) (*i) + д (некоторой 1-цепи).
Отсюда следует, что вершина х\ действует подобно специально выбранному 0-
циклу 2о и все возможные 0-циклы могут быть получены из формулы
zo = т&й + д (некоторой 1-цепи),
где цикл 20, состоящий из отдельной верщины, не может быть границей
какой-нибудь 1-цепи. Следовательно, ?оф Во и Я0 ф 0. В действительности Я
о содержит единственную образующую и является аддитивной группой,
изоморфной группе J, которая порождается одним своим элементом, а именно
1. Таким образом, для комплекса, представленного На рис. 3.1, имеем
Я0=7,
или, используя символ изоморфизма, Я0 са J.
Связность структуры больших систем
79
Вышеприведенные соображения показывают, что такая етруктура характерна
для всех линейно-связных комплексов. Это позволяет сделать следующий
вывод: если комплекс К имеет k связных компонент, то 0-я группа гомологий
может быть представлена в виде прямой суммы
Яо(Ю = /0 /0 ... 0/
