Большие системы. Связность, сложность и катастрофы - Касти Дж.
Скачать (прямая ссылка):
о9 + о12- а14. Так как единственным 2-симплексом в К является аг = <*з *7
*io>> а его границей является <*7*к>> - <*з*ю> + <*з*7>=И= о9 + 4* а12 -
а14, то а9 + о12 - о14 является 1-циклом, но не является границей. Можно
показать, что
Z = (а9 + о12 - а14},
т. е. Z\ порождается циклом о9 + о12 - а14. Аналогично, так как 02 =
<jc3jc7Дею) - единственный 2-симплекс, то <*7*ю> -
- <*з *ю> + *7> - единственная граница и
В\ = К*7*10> - <*з*ю> + <*3*7".
Поэтому имеем
Я, = ZjBi, Я0~ /,
& так как нет такого целого п, что п(а9 + а12 - а14)еВ\, то комплекс не
имеет кручення и, следовательно,
Н\ = 1.
Числа Бетти Pi = р0 = 1, все другие р, = 0, t = 2, **., 5.
Вышеприведенный анализ показывает, что комплекс хищников в размерности 1
содержит дыру, ограниченную 1-симплексами.
Наглядную физическую интерпретацию этой дыры дать трудно, но ее наличие,
по-видимому, означает, что на одномерном уровне существует некоторый вид
циркуляции жертв между следующими хищниками: енот, скунс, дикая кошка.
Аналогичный анализ для комплекса жертв показывает тривиальность гомологии
на всех уровнях, так как не существует нетривиальных границ.
ИЕРАРХИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ И ПОКРЫТИЯ
В последние годы проблема принятия решений в иерархических системах стала
темой большинства работ по математической теории систем. В результате
анализа проблем коммуникации и неопределенности в больших системах было
Связность структуры больших систем
89
установлено, что жесткоцентрализованное управление является недейственным
и неэффективным. Следовательно, для того чтобы получить рациональное
поведение системы, необходимо осуществить ее декомпозицию в локально
управляемые подсистемы, поведение которых координируется органами
управления на других уровнях иерархии. Чтобы убедиться в универсальности
именно таких структур принятия решений, достаточно взглянуть на
организационную структуру любой большой фирмы или учреждения.
- Между иерархической организацией системы и способом связи ее
подсистем существует очевидная зависимость. Поэтому возникает
естественный вопрос, как расширить понятие топологическая связность,
чтобы отразить в нем и иерархический аспект. Наш подход к этому вопросу
предполагает использование теоретико-множественного понятия покрытия.
Определение 3.3
Семейство (конечное) множеств А = {А{}'1^1 называется покрытием
(конечного) множества X, если
Л,<= 2*
в
X=[]At
>=1
(2* - множество всех подмножеств множества X). Если, кроме того,
известно, что AiflA/ = 0(i ^j), то А называется разбиением X.
Рис. 3.4. Покрытие множества X. -
Согласно вышеприведенному определению, элементы А являются подмножествами
X (рис. 3,4). Следовательно, можно считать At как бы расположенным на N -
+- \ уровне, предг полагая, что элементы X расположены на N-и уровне.
Теперь можно определить иерархию Н при помощи отношения ц, задаваемого
условием: (Л;, тогда и только
Тогда, когда Xj^Ai. Такое отношение ц может быть также представлено с
помощью матрицы инциденций из нулей и единиц точно так. же, как и
отношения, задаваемые на
Уро&ни Множества
N + 2 \
К + 1 1 А В
•1^1
N X-*-Y
N - 1 Р -
дО Связность структуры больших систем
N-уровне. Эта идея может быть распространена на дополнительные уровни
иерархии и связи между уровнями (рис. 3.5).
Подобный подход к изучению иерархических систем тесно связан с известной
теорией типов Бертрана Рассела,
согласно которой не следует смешивать элементы множества с "множествами
элементов" и "множествами множеств элементов" и т. д.
Введение такого принципиального логического различия сразу же избавляет
нас от многих логических парадоксов, например парадокса брадобрея.
В некотором городе парикмахер бреет только тех, кто не бреется Рис. 3.5.
Уровни иерархии сам. Должен ли он брить самого множеств и отношений.
себя? Если X -¦ множество мужчин ' в городе, то тогда в соответствии с
теорией типов парикмахера следует рассматривать не как элемент множества
X, а скорее как элемент множества 2х, состоящий из мужчин, которые
бреются сами. Однако применительно к элементам 2х нельзя решать те же
вопросы, что и применительно к элементам X.
ПРИМЕНЕНИЯ ПОНЯТИЯ ^-СВЯЗНОСТИ
ПРИ АНАЛИЗЕ ИГРЫ В ШАХМАТЫ
И КОМЕДИИ ШЕКСПИРА "СОН В ЛЕТНЮЮ НОЧЬ"
Рассмотрим некоторые возможности ^-анализа на примерах анализа игры в
шахматы и комедии Шекспира "Сон в летнюю ночь". Эти примеры отражают
нетрадиционное направление использования системного анализа и
свидетельствуют о том, что почти любой аспект человеческой деятельности
при искусном применении математического аппарата порождает нетривиальные
математические проблемы.
Шахматы
Утверждение, что игра в шахматы - это отношение (определенного типа)
между игровыми фигурами и клетками доски, является почти тавтологическим.
Поэтому выбор множеств X и У, необходимых для применения ^-анализа к
исследованию связности рассматриваемой структуры, в этом случае
совершенно очевиден, а именно:
Связность структуры больших систем
