Большие системы. Связность, сложность и катастрофы - Касти Дж.
Скачать (прямая ссылка):
представляющую' (н-1)-мерный симплекс.
• Вышеприведенный комплекс, как это очевидно из его геометрического
изображения, состоит из 1-симплекса уi и. двух 0-симплексов у2 и Это
означает, что данная система
74
Связность структуры больших систем
обнаруживает очень низкий уровень связности. При рассмотрении комплекса К
можно видеть, что Qi = 1 (симплекс у\), в то время как Qo = &
(дизъюнктные О-компоненты - это симплексы у\, у%, у а)- Следовательно, Q
= (l 3) есть первый структурный вектор этого комплекса.
ЭКСЦЕНТРИСИТЕТ
Несмотря на то что ^-анализ оказывается довольно эффективным при изучении
глобальной связности структуры, тем не менее он не дает необходимой
информации о том, как каждый отдельный симплекс входит в весь комплекс.
Поскольку, однако, индивидуальные свойства симплексов могут оказаться
весьма существенными в рассматриваемой проблеме, важно уметь определять
степень интегрированности каждого отдельного симплекса в структуре всего
комплекса. С этой целью введем понятие эксцентриситет.
Определение 3.2
Эксцентриситет Симплекса а задается следующей формулой:
ecc(o)=-|^f,
где $- размерность симплекса о, a q - наибольшее значение q, при котором
а станрвится связанным с каким-либо другим симплексом из К.
Разность $- q является мерой необычности (нонкон-фдрмности) симплекса о,
при этом равенство - # = 2, по-видимому, информативно более значимо,
когда <7 = 1', а не $=10. Поэтому в качестве меры эксцентриситета будем
использовать вышеприведенное отношение, а не абсолютную разность $ - (j.
Это. ¦ соответствует нашему представлению
о максимально эксцентричном симплексе как полностью изолированном от
всех остальных.
Вернемся к комплексу, рассмотренному в предыдущем разделе. Вычисляя
величины ecc(j/i)=oo, ecc(j/2)=°°, ecc(i/4)=oo, мы видим, что каждый
симплекс данного комплекса полностью изолирован от остальных.
ДЫРЫ И ПРЕПЯТСТВИЯ
Как было отмечено выше, ^-анализ еимплициальногО комплекса дает нам
информацию о многомерных цепях связей симплексов, составляющих комплекс
К- Особый интерес, Однако, представляет вопрос о структуре, образуемой
этими
Связность структуры больших систем
75
jgppHMH. Можно представить себе комплекс К в виде воображаемого
многомерного швейцарского сыра с цепями ^-связей, формируемыми его
содержимым. В этом случае наша аздача сводится к исследованию структуры
дырок в таком фыре. Изучение многомерных дырок в комплексе на языке
алгебраической топологии является прерогативой теории го-|к>логий,
которая оперирует такими понятиями, как цепь, драница, группа гомологии.
Ограничимся рассмотрением отношений между двумя конечными множествами X и
У, а именно Хс УХ^ и X* сг ¦Cz X X У- В этом случае оба симплициальных
комплекса Kv(X; X) и Kx(Y; А-) имеют конечную размерность и конечное
число симплексов.
" s Рассмотрим комплекс Ky(X; X) с dim/C = п. Предположим, что на К
задана ориентация, индуцированная упорядочением множества вершин X, т. е.
задана нумерация вер-щин (хь ..., Xi, ..., Xk-u xk), где k~^n. Для любого
целого числа р, такого, что 0 ^ р ^ п, будем обозначать симплекс
размерности р через а1р, i= 1, 2, 3, hp, а число всех р-симплексов в К -
через hp.
- Образуем формальные линейные суммы этих р-симплек-?рв, допуская
кратность для любого ар. Любую такую ком-<5инацию назовем p-цепью.
Обозначим семейство всех р-це^ gefi через Ср, а любой элемент цепи Ср -^
через ср. Тогда ти--днчная p-цепь имеет вид
ср = т\а\ + /П2стр + ... + mhpohppt
где каждое /п(е/, a J - произвольная абелева группа. Теперь можно
рассматривать множество Ср как абелеву группу относительно операции "+" в
предположении, что
ср + ср = (m, + mi) °р + ... + (от/jp +/п/,р) Стрр,
]Нулем группы является цепь 0Р, у которой каждое т,- .== 0. Возьмем
прямую сумму групп Ср, р - 1, 2, ..., п, записывая получаемую при этом
группу С. как
С. - Со ф С( 0 С2 Ф • • • Ф Сп.
Любой элемент из С. имеет вид
с. == Со + сх -\- ... сп.
Каждой р-цепи (ср) сопоставим определенную (р - 1)-цепь, которую
обозначим как дср и назовем границей. Определим дср с помощью дор
симплексов, линейная комбинация которых Образует цепь ср, если ср =
2;/п?ст', то дср = ?4т(.<3ст'. Другими словами, потребуем, чтобы д был
гомоморфизмом из Ср
76
Связность структуры больших систем
в Cp-i. Для любого симплекса ор = <*1*2 ... *p+i> можно определить дор
следующим образом:
двр = д{х\х2 ... xp+i) = Z (- 1)<+1 ¦ - • ДСр+i),
где Xi означает, что вершина дпропущена.
Геометрическое изображение 2-симплекса в2 = (хix2x3} вместе с ориентацией
и индуцированными ориентациями на
ребрах дается на рис. 3.1. В этом случае
да2 = д (ххх2х3) = (- 1 f (х2х3) + + (- I)8 <*!*)> + (- lYiXiXz),
т. е. да2 = о} - of-j- of, является 1-цепью (элементом Ci).
Границу любой цепи можно рассматривать как образ этой цепи относительно
опера-Рис. 3.1. 2-симплекс с ориенти- тора д, который задает отобра-
рованными гранями. жение д: Ср -> Ср-Х для р =
= 1п. Оператор д не только гомоморфен (он сохраняет аддитивную
