Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Касти Дж. -> "Большие системы. Связность, сложность и катастрофы" -> 22

Большие системы. Связность, сложность и катастрофы - Касти Дж.

Касти Дж. Большие системы. Связность, сложность и катастрофы — М.: Мир, 1982. — 216 c.
Скачать (прямая ссылка): bolshiesistemisvyaznost1982.pdf
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 79 >> Следующая

узел (рис. 2.13, а), в противном случае это фокус (рис. 2.13,6).
В обоих случаях начало координат является положением устойчивого
равновесия по отношению к возмущениям в с\ или с2. Эта ситуация резко
контрастирует со случаем системы без трения (ci = 0), когда начало
координат есть центр и качественная картина поведения изменяется при
сколь угод-
Основные положения и перспективы развития теории систем 61
но малых изменениях с\. Таким образом, при С\ ф О система структурно
устойчива в том смысле, что качественный характер положения равновесия
(узел, фокус) сохраняется при малых изменениях структуры системы.
Рис. 2.13. Фазовый портрет траекторий системы на плоскости.
Поскольку идеи структурной устойчивости тесно связаны поведением
траекторий системы по мере приближения к ее состоянию равновесия,
представляет интерес рассмотреть те
области пространства состояний, которые соответствуют областям притяжения
и отталкивания для данного состояния равновесия.
Иными словами, пусть задано равновесное состояние х*, для простоты
считающееся фиксированным. Из каких начальных состояний система в конце
концов (при i-*~oо) придет в состояние х*? (Графически подобная ситуация
изображена на рис. 2.14). Если допустить, что равновесные состояния
62 Основные положения и перспективы развития теории систем
могут быть предельными циклами или периодическими траекториями, то даже в
двумерном случае картина может быть довольно сложной. В случае более
высокой размерности картина еще более запутана. Тем не менее вопрос об
описании областей устойчивости и родственные вопросы, связанные со
структурной устойчивостью, изучены достаточно глубоко.
Пример более сложной структурно неустойчивой системы.
Антисимметричная система хищник - жертва
Предположим, что m видов взаимодействуют с популяцией г-го вида,
численность которой Ni(t). Пусть а,- - коэффициент рождаемости г-ro вида,
а ац - коэффициент, характеризующий скорость уничтожения г'-го вида j-м
видом. Тогда динамика системы описывается уравнением Лотка - Воль-терра:
(tm)m=Ni{t)[ai- gс^мо].
Нетривиальные равновесные популяции должны удовлетворять линейной системе
алгебраических уравнений
m ,
? an^i - ai-
/=1
При неочевидном предположении, что матрица А = [ос,/] является
антисимметрической, т. е. а1;- = -а,,-, можно показать, что при смещении
системы из любого равновесного состояния ее поведение будет чисто
колебательным, поскольку собственные значения любой кососимметрической
матрицы чисто мнимые. (Следует отметить, что данное предположение
означает, что коэффициент биохимического преобразования одного грамма
жертвы /-го вида одинаков для всех хищников г-го вида, т. е. этот
коэффициент не зависит от вида поедаемых особей.) Можно показать, что
величина
<2=?|>г (0-^;iog^(0]
г-i
постоянна вдоль любой траектории системы.
Этот закон сохранения есть следствие колебательного характера поведения
системы и является аналогом закона сохранения механической энергии
простого гармонического осциллятора, рассмотренного выше. Однако, как
только кососимметричность матрицы А нарушается, состояния равновесия
системы становятся узлами или фокусами (устойчивыми
Основные положения и перспективы развития теории систем 63
или неустойчивыми). В этом случае введение в систему сколь угодно малых
изменений нарушает качественный характер траекторий, поэтому данная
система структурно неустойчива. Более того, антисимметрические модели
приме> нимы только к системам с четным числом видов, поскольку из
антисимметричности следует, что собственные значения матрицы А есть
комплексно сопряженные числа. Если m нечетно, то действительное
собственное значение матрицы А должно быть равным нулю, что приводит к
вырожденности матрицы взаимодействий. Таким образом, данная система
является структурно неустойчивой и в смысле вариации ее размерности.
КАТАСТРОФЫ И АДАПТИРУЕМОСТЬ
Положение равновесных состояний и соответствующих областей притяжения
зависит от динамики изучаемой системы, поэтому важно знать, как они
изменяются при небольшом изменении самой системы. Вопрос относительно
того, приведет ли такое изменение к смещению данного состояния системы в
другую область притяжения, представляет большой практический интерес,
поскольку это привело бы к резким качественным изменениям в дальнейшем
поведении системы. В качестве одного из инструментов исследования таких
вопросов может быть использована теория катастроф.
Обычно в теории катастроф предполагается, что поведением изучаемого
процесса управляет некоторая потенциальная функция, локальные минимумы
которой соответствуют равновесным состояниям. Очень важно иметь в виду,
что при таком подходе вовсе не обязательно точно знать, что это за
функция - достаточно признать лишь сам факт ее существования.
Предположим, далее, что можно измерять значения некоторых выходных
переменных, генерируемых системой в ответ на входные воздействия. В
"элементарной" теории катастроф предполагается, что все равновесные
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 79 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed