Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Касти Дж. -> "Большие системы. Связность, сложность и катастрофы" -> 30

Большие системы. Связность, сложность и катастрофы - Касти Дж.

Касти Дж. Большие системы. Связность, сложность и катастрофы — М.: Мир, 1982. — 216 c.
Скачать (прямая ссылка): bolshiesistemisvyaznost1982.pdf
Предыдущая << 1 .. 24 25 26 27 28 29 < 30 > 31 32 33 34 35 36 .. 79 >> Следующая

какой-либо последовательности. Подобные действия помощника приводят к
сильному изменению в комплексе /Сив связанной с ним группе цепей.
Например, последовательность <1 23 4 5 6) не будет встречаться, так как
она содержит <12 3). Кроме того, в новом комплексе К' появится цикл
г, = <12> + <23> + <31),
который не является границей. Следовательно вмешательство помощника
привело к возрастанию первого числа Бетти Pi от 0 до 1. Именно помощник
является виновником появления дыры в комплексе; группа гомологий Н\ стала
изоморфна J.
Изменим порядок проведения эксперимента еще раз. Предположим, что
эксперимент проводят два опытных игрока. Бросая кость, они замечают, что
вероятность различных последовательностей, соответствующих типичным
симплексам <ть <т2, 0з. <4 05, равны соответственно 5/6, 5/9, 5/18, 5/54
и 5/324. Так как игроки намерены держать пари по результатам
эксперимента, то они соглашаются приписать
82
Связность структуры больших систем
симплексам некоторые веса, которые уравнивают шансы. Это вызывает
введение новых (взвешенных) симплексов, порождающих новую группу цепей
С'. Новые образующие связаны со старыми следующим образом:
aj== 54 Oi', о'2 = 3& а2; Стз = 18 ог3; ст'==6 <х4; о'ь = &&.
Теперь гомологии комплекса изменятся еще больше; например элемент
54 "12) + (23) + <31"
находится в Z{, но не является элементом группы В[, так как последняя
состоит из элементов кратных 108 Y{ (r)i (108 - наименьшее общее кратное
чисел 36 и 54). Отсюда получаем, что в Z\ существует цикл г\, такой, что
Z\ ф В\, а е В[. Это вносит в группу гомологий Иi слагаемое, равное 1%, а
группа кручения Тог Н\ становится нетривиальной. В действительности
где число слагаемых в сумме равно десяти. Остальные Йр при этом не
изменились, Нр = 0, р =s* 2, 3, 4.
Комплекс игроков уже обладает кручением, что и отразилось в изменении Нь
Теперь становится ясно, что кручение может быть введено в Н(К) разными
путями, которые могут давать различные слагаемые /т в зависимости от
изменения кратности выхода эксперимента. Например, введение о( =
- 48ffi вызывает появление десяти слагаемых /3, прл этом
• • • Ф/з-
КОЦЕПИ И КОГРАНИЦЫ
Группе цепей С. с коэффициентами из / можно сопоставить двойственное
понятие, а именно группу отображений из С. в /. Это позволяет ввести
понятия коцепи, двойственное понятию цепи. Любая коцепь представляет
собой гомоморфизм из С. в /:
ср: Ср -"¦/.
Точнее потребуем выполнения аддитивности, а именно:
сР(ср+ср)=сРМ+^р(сЯ
Связность структуры больших систем
83
где ср обозначает р-коцепь. Благодаря этому можно строить Любую р-коцепь
ср, исходя из множества отображений ^-симплексов в /. В связи с этим
целесообразно ввести понятие косимплекса. Косимплексом называют
отображение
°Р •¦{<}-+J-
Если в К входит в точности hp р-симплексов, можно определить базис
косимплексов как множество отображений {а?:
i = 1, 2, hp), где
Это позволяет любой косимплекс ар записать в виде суммы косимплексов ар,
т. е.
ор = ? °Pt>
а любую р-коцепь представить в виде линейной комбинации
СР= ? ttliOPi-I
Нулевая коцепь (для любого р) - это коцепь, у которой все mi = 0. Таким
образом, множество всех р-коцепей образует аддитивную группу коцепей Ср.
Взяв прямую сумму
с^с0(r)*:1(r) ... (r)С",
получим градуированную группу коцепей, где п = dim К.
Для завершения двойственных рассмотрений определим кограничный оператор
б, сопряженный граничному оператору д. Будем обозначать ср(ср) также с
помощью внутреннего произведения (ср, ср). Определим 6: Cp-*~Cp+l при
помощи равенства
(дср+1, ср) = (ср+1, Ьср).
Ясно, что оператор б также будет нильпотентным (б2 = 0), так как
0 = (0, ср) = [&ср+ъ ср) =
= (дср+2, бср) =
= (ср+2, б2СР) ДЛЯ любого Ср+2,
и, следовательно, Ь2ср может быть только тривиальным отображением.
Теперь можно определить когомологическую группу НР(К\ J), задаваемую
равенством
НР = ZP/BP - ker 6/im6.
84
Связность структуры больших систем
СИСТЕМА ХИЩНИК-ЖЕРТВА
Исследование классической экосистемы хищник - жертва может служить
прекрасной иллюстрацией применения вышеприведенных гомологических
рассуждений. Рассмотрим биологическое сообщество, состоящее из 15
различных видов, и
1 -медведи, 2 - птицы" 3-оленн, 4-лисы, 5-змеи, 6-насекомые, 7 -
растения; 8-кролики, 9-еноты, /0-грызуны, //-саламандры; /2-скунсы, 13*-
жабы, 14-днкне кошки, 15-вол кн.
представим его в виде ориентированного графа (рис. 3.3), вершины которого
соответствуют видам животных и растений, а дуга от i к / означает, что
вид / служит пищей для вида./.
Так как предполагается, что система замкнута, то, естественно, взять
множества X и Y одинаковыми и состоящими из всех видов, входящих в
сообщество. Будем использовать
Связность структуры больших систем
85
фимвол Xi (=*/<•) для обозначения i-го вида, анумерован-Його в
соответствии со списком видов сообщества на рис. 3.3.
Каждый вид в сообществе может быть либо хищником, Либо служит пищей для
какого-нибудь вида (либо то и другое). Таким образом, для того чтобы
Предыдущая << 1 .. 24 25 26 27 28 29 < 30 > 31 32 33 34 35 36 .. 79 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed