Большие системы. Связность, сложность и катастрофы - Касти Дж.
Скачать (прямая ссылка):
эффективную математическую модель. Как только разработана
удовлетворительная модель исследуемой системы, эта модель начинает жить
"своей собственной жизнью". При этом важно решить вопросы выбора коорди-,
нат, удобных для интерпретации результатов моделирования, и, возможно,
других координат, удобных для математических вычислений на машине. В этом
случае мы должны уметь переводить по желанию одно представление задачи в
другое.
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
В качестве простого примера линейной системы рассмотрим динамическую
систему, внутреннее описание которой может быть задано с помощью
дифференциального уравнения
¦%- = Fx(t) + Gu(t),
и ее выход задан равенством
У (t)~Hx (t),
где х, и и у представляют собой п-, т-, р-мерные векторные функции
соответственно, a F, G, Н - матрицы соответствующих порядков.
Вероятно наиболее удобный способ проиллюстрировать алгебраические аспекты
линейной системы-это рассмотреть матрицу передаточной функции системы.
Обозначим через х, й, у преобразования Лапласа вектор-функций х, и, у
соответственно. Можно показать, что отношения между преобразованными
входом и выходом системы задается формулой
" Mz) = H(zi.-- Ga{z)=w'm{z),.
РДв 2 -преобразование переменной. Матрица W, называемая передаточной
матрицей, задает внешнее описание динамики системы. Предположим далее,
что элементы матрицы Ш'(г) - правильные рациональные дроби от г. Можно
показать, что в этом случае изучение внутренней схемы взаимосвязи входных
и выходных каналов системы 2 эквивалентно изучению циклической структуры
матрицы W{z),
Связность структуры больших cueteM
97
Теорема реализации
г,: Каждая матрица передаточной функции W(z) правильных рациональных
дробей может быть реализована в виде прямой суммы систем
2 ^(Ff.Gt.Hi),
где Gi, Hi вычисляются по формулам, приведенным ниже, а Fi - циклическая
матрица с характеристическим полиномом 'ф i, i-м инвариантом матрицы W
(г).
" Из теоремы следует, что основные строительные блоки системы 2
получаются при вычислении инвариантов матрицы Y(z)- Если г|)-наименьший
общий знаменатель элементов Матрицы W(z), то W является полиномиальной
матрицей. Применяя алгоритм вычисления инвариантов, получим представление
= рщ mod
где detP и detQ являются единицами кольца /С [г] /ЛГ [гг] -ф, а матрица L
- диагональной матрицей, единственной с точностью до единиц того же
кольца (здесь К - произвольное числовое поле). При этом оказывается, что
элементы связаны с элементами матрицы L следующим образом:
¦ф/ = /+ 1, i = 1 > 2,
#1? л -степень наименьшего общего знаменателя.
Для получения элементов системы 2,- необходимо проделать следующие
операции:
1. Для каждого инварианта, гр,- матрицы W найти циклическую матрицу
Fi, такую, что ее характеристический полином Хр = 1К-> " = 1.2, q. (В
качестве Fi можно взятъ
i
сопровождающую матрицу -ф,-).
2. Пусть L = (U,h.......In), pi - i-й столбец Р, q[ - i-я
строка Q в вышеприведенном представлении W. Возьмем такие полиномиальные
векторы у,- и wi, что > '
XF( = (zl - Р{)~' = vt (z) w'(z) mod %F(.
(Эти векторы определяются однозначно с точностью до единиц K[z]/K[z]xf{.)
3. Уравнения <~
Fffit = (hfot) Pi mod ifo,
I iv'fi t = q^moA
Ямейэт единственное решение Hi, Gi. Здесь (х,-- наибольший обифй делитель
k и Мр. Находим эти решения и тем самым систему 2г.
4 Зах. 1231
¦98
Связность структуры больших систем
Выводы
Размеры (размерность) блоков (подсистем), входящих во внешнее описание
системы 2, равны в точности степеням инвариантов матрицы W.
Каноническая структура линейной системы (рис. 3.7) характеризуется
высокой степенью связности между ее компонентами и заметно отличается от
структуры линейной системы, схема которой приводится обычно в
элементарных учебниках (рис. 3.8). Простота схемы, приведенной на рис.
3.8, объясняется произвольностью ее выбора, и, несмотря на графическую
привлекательность, эта схема не имеет никакого отношения к реальной
системе 2 с передаточной функцией W.
Рассмотрим числовой пример.
Пусть
W(z) =
1 0 0
2 + 1 0 1 0
0 2+2 0 1
2+3
Имеем г|> (г) = (г + 1) (г + 2) (г 4* 3), и инвариантами ф W -является
Поэтому
L =
СИ
1 0
A = 0 I
_0 0
I Q о ООО
рос
~ (z + 2) (2 + 3) 2(2 + 1) (2 + 3) L (2 + 1) (z+2)
1
n
1/2(2 + 2}(z + 3) - 1)(2 + 3) 1/2(2 +1)(2 + 2)'
-1 1 -1
0 -X/2 .1
Рис. 3.8. Обычная схема линейной системы-
100
Связность структуры больших систем
В качестве и (г), о" (г) возьмем
~1" zi+6'z + ii
v(z) = Z w(z) = z + 6
_22. 1
Можно показать, что передаточная матрица №(z) канонической внешней модели
задается следующими матрицами:
'0 1 0'
0 О 1
-6 -11 -6
" 1/2 -1/2 1/2" ~6 5 l'
-1/2 1 3/2 H = 6 8 2
1/2 -5/2 9/2_ 2 3 1_
Все канонические модели эквивалентны с точностью до преобразования
координат х-уТх в пространстве состояний. Этот вывод легко получается из
теоремы реализации.
НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
Исследование общих нелинейных систем требует использования техники,
совершенно отличной от линейной алгебры, используемой для анализа
