Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
/о о 1 о
О [2]
^o о
Ре,п(Ю = Є
( qn О О qn~2
о V о
о о
о \
о
0 0/
о о \ о о
о о
[n] О J
о о
О \ о
j—n+2
о
о
у—Tl
Таким образом, мы построили {/^-модули, порожденные старшими векторами, вес Л которых имеет специальные значения. Покажем теперь, что существуют модули с произвольными старшими весами.
Зафиксируем некоторый скаляр Л ф 0. Рассмотрим бесконечномерное векторное пространство V(X) со счетным базисом Z+- Для P^ 0 положим
Kvp = Xq 2pvp, „ q-pX - qPX'1
evp+1 = q_ri-«р,
K-lVp = X~lq2pvp, (3.4) Fvp = \p + %+i (3-5)
и Evо = 0. 166
Глава 6. Квантовая обертывающая алгебра алгебры JIu sl(2)
Лемма 6.3.6. Соотношения (3.4), (3.5) задают структуру Uq-модуля на V(A). Элемент Vo порождает Ug-модуль V(X) и является старшим вектором веса А.
Доказательство. Непосредственное вычисление дает KR-lVp — vp, K-1Kvp = vp,
KEK-1Vp = q2Evp, KFK-1Vp = q~2Fvp.
Мы также имеем
г /г .q-PX-qPX'1 . . ^Х'Л [Е, F]vp = ^[р + 1] -M---Jvp =
q~2pX - q2pА"1
= -TT-Vp =
я-я } K-K-1
= -=T-V
q-q 1
Это доказывает, что соотношения (3.4), (3.5) задают структуру Uq-модуля на V(A).
Далее, мы имеем Kvо = Xvq и Evо = 0, откуда Vo является старшим вектором веса А. И, наконец, из (3.5) следует, что для всех р Vp = IpF ^pvo' откуда V(A) порождается вектором vq. ?
По аналогии с классическим случаем, {/,-модуль V(A), порожденный старшим вектором, называется модулем Берма со старшим весом А. Он обладает следующим свойством универсальности.
Предложение 6.3.7. Любой ид-модуль, порожденный старшим вектором веса X, является фактор-модулем модуля Берма V(A).
Доказательство. Пусть v — старший вектор, порождающий модуль V. Определим линейное отображение / из V(A) в V формулой f(vp) = щі Fpv. Из леммы 3.4 следует, что отображение / является {/,-линейным. Так как вектор F(vо) = v порождает V, отображение / сюръективно. ?
В частности, простой конечномерный модуль Vetn, описанный выше, является фактор-модулем модуля Верма V(eqn). Как следствие, получаем, что модуль V(A) не может быть простым, если А имеет вид ±qn, где п — неотрицательное целое. 6.4. Гомоморфизм Хариш- Чандры и центр Uq
167
6.4. Гомоморфизм Хариш-Чандры и центр Uq
Наша очередная цель — описать центр Zq алгебры Uq в случае, когда q не является корнем из единицы. Мы предполагаем это до конца параграфа.
Начнем с введения специального центрального элемента, иногда называемого квантовым элементом Казимира.
Предложение 6.4.1. Элемент
{q-q 1)2 (q-q 1J2
принадлежит центру алгебры Uq.
Доказательство. Достаточно проверить, что элемент Cq коммутирует с образующими К, Е, F. Коммутирование с К очевидно из равенства KEFK'1 - EF. Для образующей E имеем
ECq = EFE + EqK(+I'*;1 = EFE + ^ + ^E = CqE. {q-q- 1Y {q-q'1)2
Для F рассуждение аналогично. ?
Пусть Uq — подалгебра в Uq, состоящая из элементов, коммутирующих с К.
Лемма 6.4.2. Элемент алгебры Uq принадлежит U^ тогда и только тогда, когда он имеет вид
(4.1)
о
где Pq, Pi,... — элементы из к [К,
Доказательство. Это утверждение является следствием того факта, что" семейство {FlKlEj}itj?z+-, lez есть базис алгебры Uq, и равенства K(FiK1EJ)K-1 = ^2W-O FiK1EK ? 168 Глава 6. Квантовая обертывающая алгебра алгебры JIu sl(2)
Рассмотрим левый идеал I = UqE П Uq в Uq .
Лемма 6.4.3. Мы имеем I = FUq П Uf и U1f = к [К, К'1} © I.
Доказательство. Пусть и = FiPiEi — некоторый элемент из Ujf. Если и лежит также и в UqE, то Po = 0- Следовательно, и лежит в FUq П Ujf и обратно. Так как представление в виде (4.1) единственно для любого элемента Uf, мы получаем искомое разложение в прямую сумму. ?
Из равенства I = FUq п Ujf следует, что I есть двусторонний идеал и что проекция tp из Uf на к[К,К~1] является гомоморфизмом алгебр. Это отображение ip называется гомоморфизмом Хариш-Чандры. Он позволяет вывести формулу для действия центра Zq на модуле со старшим весом.
Предложение 6.4.4. Пусть V — Ug-модуль, порожденный старшим вектором веса А. Тогда для любого центрального элемента z алгебры Uq и произвольного вектора v Є V мы имеем
ZV = </>(z)(A)D.
Напомним, что cp(z) есть лорановский многочлен от К, a <p(z)(А) — его значение в точке А.
Доказательство. Пусть Vq — старший вектор, порождающий модуль V, a Z — центральный элемент алгебры Uq. Элемент 2 записывается в виде
Z = ip(z) +Y FiPiE1.
г>0
Так как Evо = 0 и Kvо = A^o, мы получаем zvо = </?(г)(А)ио. Для произвольного элемента v ElV МЫ имеем V = XVQ, где X — некоторый элемент Uq; а значит,
zv = ZXV о = XZV о = <p(z)( X)xvo = <p(z)( X)v. ?
Пример 1. Из определения центрального элемента Cq видно, что
, _ , qK- q~lK~l .. ..
= (g-g-i)2 • (4'2) 6.4. Гомоморфизм Хариш- Чандры и центр Uq
169
Следовательно, Cq действует на модуле со старшим весом Л как умножение на скаляр
(4.3)
(q-q і)*
Докажем, что ограничение гомоморфизма Хариш-Чандры на центр Zq инъективно.
Лемма 6.4.5. Пусть z E Zq. Если <p(z) = 0, то Z = 0.
Доказательство. Пусть z — некоторый элемент центра такой, что <p(z) = 0. Предположим, что Z не равен нулю; его можно записать в виде 2 = Yli=k E1 PiE1, где 0 < к — целые числа, Ph,-¦¦ ,Pi — ненулевые лорановские многочлены от К. Рассмотрим модуль Верма F(A), старший вес которого не является степенью q. Тогда из соотношений (3.4), (3.5) видно, что Evv = 0 тогда и только тогда, когда р = 0. Применим г к вектору Vk из модуля F(A). С одной стороны, из предложения 4.4 следует, что ZVk = Viz) Wvk = 0; с другой — мы получаем
