Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
ZVk = FkPkEkVk = с Pk(X)Vk,
где с — ненулевая константа. Отсюда Pk(X) = 0. Как следствие, мы получаем ненулевой многочлен Pk с бесконечным числом корней. Противоречие. ?
Модули Верма позволят нам также доказать соотношения симметрии для многочленов tp(z). Прежде чем сформулировать их, введем следующее обозначение. Для произвольного лорановского многочлена P из к[К,К~1] обозначим через P многочлен, полученный следующей заменой переменной:
P(X)=P(q~lX).
Лемма 6.4.6. Для любого элемента z, принадлежащего центру Zq, мы имеем
Ф)(Х) = ФКХ-1).
Доказательство. Для любого натурального п рассмотрим модуль Верма V(qn~x). Из формулы (3.5) мы имеем
0-(п-1)оп-1 _ H-Ia-(Ti-I) 170
Глава 6. Квантовая обертывающая алгебра алгебры JIu sl(2)
Таким образом, vn является старшим вектором веса =
Согласно предложению 4.4 центральный элемент 2 действует на модуле, порожденном вектором vn, как умножение на скаляр (p(z)(q~n~1)-, но, так как Vn лежит в V(qn~l), элемент 2 действует одновременно как умножение на <f(z)(qri~1). Другими словами, мы имеем
Ф)(яп) = Ф)(я'п)-
Мы завершаем доказательство замечанием, что степени q образуют бесконечную последовательность различных чисел. ?
Мы прервемся на время, чтобы доказать следующую лемму.
Лемма 6.4.7. Любой лорановекий многочлен из к[К, К~1\, удовлетворяющий соотношению P(X) = Р(А-1), есть многочлен от К + К-1.
Доказательство. Применим индукцию по степени многочлена. Если степень равна нулю, утверждение тривиально. Предположим, что утверждение леммы доказано для всех степеней < п, и пусть P — лорановекий многочлен степени п такой, что P(A) = Р(А-1). Тогда мы можем записать P в виде
P(K) = с (Kn + К~п) + (члены степени < п).
Далее,
Kn + К~п = (К + K'l)n + (члены степени < п). Применение предположения индукции завершает доказательство. ?
Мы готовы сформулировать основную теорему этого параграфа.
Теорема 6.4.8. Если q — не корень из единицы, то центр Zq алгебры Uq есть алгебра многочленов, порожденная элементом Cq. Ограничение гомоморфизма Хариш- Чандры на Zq есть изоморфизм на подалгебру в к[К,К~1], порожденную элементом qK + q~lK~x.
Доказательство. Мы уже знаем, что ограничение отображения ip на центр инъективно. Нам остается найти образ. Из лемм 4.6 и 4.7 следует, что образ содержится в подалгебре к [К, К-1], порожденной 6.5. Случай, когда q является корнем из единицы
171
qK + q 1K Рассмотрим центральный элемент Cq, определенный выше. Из формулы (4.2) мы знаем, что
откуда образ Zq есть вся подалгебра, и Cq порождает центр, который является алгеброй многочленов, так как степени элемента qK+q~lK~1 линейно независимы по тривиальным соображениям степени. ?
6.5. Случай, когда q является корнем из единицы
Наша следующая цель — найти все конечномерные простые [/^-модули в случае, когда комплексный параметр q является корнем из единицы не равным ±1. Как мы скоро увидим, ситуация здесь намного сложнее, чем в случае общего положения, когда q не есть корень из единицы. Определим d, как порядок корня q и целое е, как в формуле (1.3). Напомним, что [е] = 0.
Следующая теорема утверждает, что простые модули достаточно малых размерностей такие же, как в случае общего положения.
Предложение 6.5.1. Любой простой ненулевой Uq-модуль размерности < е изоморфен модулю вида Vrejn, где є = ±1, u0^n<e-l.
Модули Ve,п были описаны в параграфе 3.
Доказательство. Доказательство такое же, как и у теоремы 3.5. Нужно использовать то, что l,q2,,.. , q2n — различные скаляры, если п < е. ?
Первое существенное отличие от случая общего положения проявляется в следующем утверждении.
Предложение 6.5.2. Не существует простых конечномерных Uq-MO-дулей размерности > е.
Перед тем как доказывать это утверждение, дадим две леммы. Первая утверждает, что если q — корень из единицы, то центр алгебры Uq 172
Глава 6. Квантовая обертывающая алгебра алгебры JIu sl(2)
намного больше, чем в общем случае. Вторая лемма является частным случаем общего утверждения о конечномерных модулях.
Лемма 6.5.3. Элементы Ee, Fe и Ke принадлежат центру алгебры Ug.
Доказательство. Это утверждение есть следствие соотношения (1.1) и леммы 1.3. Действительно, Ee коммутирует с К, поскольку q2e = 1, и с F, так как [е] = 0.. Аналогичное рассуждение годится для Fe и Ke. ?
Лемма 6.5.4. Пусть z — центральный элемент Uq. Тогда z действует на любом конечномерном Uq-модуле V как умножение на скаляр.
Доказательство.^ Пусть и — оператор, соответствующий действию г на V: он Uq-линеен, поскольку элемент z центральный. Так как модуль V конечномерен, оператор и имеет собственное значение А. Рассмотрим Ug-линейный оператор и — Aidy. Его ядро К есть подмодуль простого модуля V. Так как К ф {0}, мы должны иметь K = V. ?
Доказательство предложения 5.2. Предположим, что существует простой конечномерный модуль V размерности > е. Мы докажем, что V имеет ненулевой подмодуль размерности ^ е. Таким образом, получим противоречие.
(а) Предположим, что существует ненулевой собственный вектор V є V для действия К такой, что Fv = 0. Тогда мы утверждаем, что подпространство Vі, натянутое на векторы v, Ev,... , Ee~lv, является подмодулем размерности < е. Достаточно проверить, что подпространство V' инвариантно под действием образующих Е, F, К. Для К это очевидно. Проверим, что V инвариантно относительно Е. Вектор E(Epv) = Ep+1v принадлежит Vі, если р < е — 1. Если р = е — 1, то согласно леммам 5.3 и 5.4 мы имеем
