Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
Например, вещественная подалгебра Ли su(2), состоящая из матриц
_Ji
размера 2x2 M Є s[(2) таких, что M = —М , является вещественной формой в sl(2). Векторы А = \(Х - Y), В = §(Х + Y), С = ±Я образуют вещественный базис в su(2) такой, что
[А, В] = C, [В, С] = A, [С, A] =B.
Отсюда следует, что su(2) изоморфна алгебре Ли so(3) вещественных кососимметричных матриц 3x3.
(Двойственность.) Теорема 7.6 утверждает существование гомоморфизма из алгебры Хопфа SL(2) в U(sl(2))*. Этот гомоморфизм в действительности является изоморфизмом между SL(2) и ограниченно-двойственной алгеброй Хопфа U(st(2))°. Вообще, подобное утверждение имеет место для любой односвязной алгебраической группы в случае поля характеристики нуль (см. [Abe80], [Нос81], [JS91b], [Swe69]). Глава 6
Квантовая обертывающая алгебра алгебры Ли sl(2)
Цель глав 6, 7 состоит в построении алгебры Хопфа Ug = Ug(s\(2)), которая является однопараметрической деформацией обертывающей алгебры алгебры Ли sl(2), изучавшейся в главе .5- Будет показано, что алгебра Ug двойственна алгебре Хопфа SLg(2), определенной в главе 4. Она будет нашим вторым основным примером квантовой группы. Когда параметр q не является корнем из единицы, алгебра Ug имеет свойства, полностью аналогичные свойствам U(s[(2)). В настоящем параграфе мы классифицируем простые конечномерные модули над алгеброй Uq и найдем ее центр. Главу завершает рассмотрение нескольких случаев, когда q является корнем из единицы.
Мы предполагаем на всем протяжении этой главы, что основное поле к есть поле комплексных чисел.
6.1. Алгебра Uq(s\(2))
Зафиксируем некоторый обратимый элемент q поля к, отличный от 1 и —1, так что определена дробь l/(q — q-1). Введем следующее обозначение.
Для целого п положим
= Яп - Г" = П_1 + дії—З + _ + g-n+3 + -п-к (1 1}
q-q і
Такие ^-аналоги целых чисел обладают большей симметрией, чем те, что были введены в параграфе 4.2, как показывают следующие соотношения:
[-n] = -[п] и [т + п] = qn[m} -I- q~m[n].
(1.2) 156 Глава 6. Квантовая обертывающая алгебра алгебры JIu sl(2)
Заметим, что если q — не корень из единицы, то [п] ф 0 для любого ненулевого целого п. Это не так, когда q является корнем из единицы. В этом случае обозначим через d его порядок, то есть наименьшее натуральное число d такое, что qd = 1. Так как мы предположили, что q2 ф 1, мы должны иметь d > 2. Положим
е =
d, если d нечетное, d/2, если d четное.
(1.3)
Договоримся считать, что d = е = оо, если q не является корнем из единицы. Теперь легко проверить, что
[n] = 0 <(=> п = О (mod е)
(1.4)
Мы также имеем следующие аналоги факториалов и биномиальных коэффициентов. Для целых 0 ^ к ^ п положим [0]! = 1,
[*]! = [1][2]...[*],
(1.5)
если к > 0, и
п к
N'
[к]\[п-к)\
(1.6)
Эти (/-аналоги связаны с теми, что рассматривались в параграфе 4.2, соотношениями
[n] = q-^Kn)?, [n]! = {"-1)/2(гг)! 2,
(1.7)
и
п к
= д-Нп-к) J П
к iq г
(1.8)
В этих обозначениях предложение 4.2.2 можно переписать следующим образом. Если переменные х и у удовлетворяют соотношению ух = q2xy, то для п > 0 мы имеем
(* + у)п = Х>
,,к(п—к)
к=0
П к
хкуп~к.
(1.9) 6.1. Алгебра Ug(s 1(2))
157
Определение 6.1.1. Определим Uq = Uq(s\(2)) как алгебру, порожденную четырьмя образующими E,F,K,K~X и соотношениями
KK'1 =K-1K = 1, (1.10)
KEK'1 = q2E, KFK'1 = q~2F, (1.11)
и
[E1W = Z^r. (1.12)
q-q
Оставшаяся часть параграфа посвящена некоторым элементарным свойствам алгебры Uq. Доказательство следующей леммы несложно и оставляется читателю.
Лемма 6.1.2. Существует, и притом единственный, автоморфизм ш алгебры Uq такой, что
oj(E) = F, uj(F) = E, uj(K) = K'1.
Автоморфизм UJ иногда называют картановским автоморфизмом. Теперь мы дадим ^-аналог леммы 5.3.1.
Лемма 6.1.3. Пусть m ) 0 u я E Z. В алгебре Uq выполняются следующие соотношения:
EmKn _ q~2rnn KnEJm FmKn _ g2mn j^njpm
q-(m-l)K_ qm-\K-l
[.E, Fm] = [m] Fr'
q-q'1
m-lj( _ -(m-l)j(-l
= [m] -- q -Ii-Fm-1,
q-q'1
a-(m-l)f( _ „m-1 7V--1
[Em, F) = [m] q--fz^k--Em-1
^m-1K -g-^-1)K-1 q-q'1
= [m] Em-
доказательство. Первые два соотношения тривиально следуют из равенств (1.11). Третье можно доказать индукцией по т, используя соотношения
[EjFm] = [E,Fm~l}F + Fm-1IEfF] = [Е, F^jF + FTO"1 К ~ К
Q-Q'1 158
Глава 6. Квантовая обертывающая алгебра алгебры JIu sl(2)
как в доказательстве леммы 5.3.1. Применяя автоморфизм и> к третьему соотношению, получаем четвертое. ?
Теперь мы опишем базис алгебры Uq, для чего покажем, что Uq является кратным расширением Оре. За информацией о расширениях Ope мы отсылаем к параграфам 1.7, 1.8.
Предложение 6.1.4. Алгебра Uq нётерова и не имеет, делителей нуля. Множество {ЕгFiKl}ij?z+-t ie% является базисом в Uq.
Доказательство. Положим A0 = к[К,К~1]. Мы построим два последовательных расширения Ope Ai С A2 такие, что A2 изоморфно Uq. Сначала заметим, что алгебра Ao не имеет делителей нуля и является нётеровой как фактор-алгебра (нётеровой) алгебры многочленов от двух переменных. Семейство {Kl}iex является базисом в Aq-
