Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим автоморфизм ао алгебры Aq, определенный по формуле щ(К) = q2K, и соответствующее расширение Ope Ai = Aq[F,ао,0]: оно имеет базис, состоящий из всех мономов вида FiK1, j Є h+,l Є Ъ. Рассуждение, аналогичное тому, что было использовано в доказательстве леммы 4.4.2, показывает, что Ai есть алгебра, порожденная образующими F,K,K~l и соотношением FK = q2KF.
Теперь построим расширение Ope A2 = Ai[E,ai,S] с помощью автоморфизма осі и Лі-дифференцирования S алгебры Ai- Автоморфизм Cti задается формулой
cti(FjKl) = q-2lFjKl. (1.13)
Примем на время как данное, что существует аі-дифференцирова-ние S такое, что
S(F) = K~KJ и S(K)= 0. q-q
Тогда в A2 выполнены следующие соотношения:
EK = cti(K)E + S(K) = q~2KE
и
EF = ai(F)E + S(F) = FE+K~K_. .
q-q
Отсюда легко видеть, что алгебра A2 изоморфна Uq. Из следствия 1.7.4 и теоремы 1.8.3 получаем, что Uq имеет требуемые свойства. ? 6.1. Алгебра Uq(s\(2))
159
Осталось доказать следующую техническую лемму, чтобы завершить доказательство предложения 1.4.
Лемма 6.1.5. Обозначим через S(F)(K) лорановский многочлен
для j > 0. Тогда S продолжается до а\-дифференцирования А\.
Доказательство. Мы должны проверить, что для всех j,m є Z+ и всех 1,п Є Z имеет место
6(FjKl ¦ FmKn) = ct1(FjK1)S(FmKn) + S(FjK1)FmKn. (1.15)
Вычислим выражение в правой части (1.15), используя формулы (1.11), (1.13) и (1.14). Мы имеем
ctl(FjK1)S(FmKn) + S(FjK1)FmKn =
^r-T, положим S(Kl) =Ou
(1.14)
i=0
т— 1
= Y Я~21 FjK1Fm-1S(F)(Q-2iK)Kn +
г=0 J-I
+ ^Fj-1S(F)(Q-2iK)K1FmKn =
¦п
г=0
т—1
т—1
= Y q-2l-2l{-mFj+m-1S(F)(q~2iK)Kl+n +
і=0 j-і
+ Y^2lm Frn^j'1 s(F)(q-2i-2mK)Ki+n
—2г—2m
m—1 г=0
= J2 Я~21т Fm+j~1S(F)(q-2iK)Kl+n +
і=0 j+m-1
+ Y Я~21т Fm+j-1S(F)(q-2iK)Kl+n
i=m
= q~2lmS(Fj+mKl+n) = = S (Fj K1 ¦ FmKn).
? 160
Глава 6. Квантовая обертывающая алгебра алгебры JIu sl(2)
6.2. Связь с обертывающей алгеброй алгебры Ли sl(2)
Естественно ожидать, что алгебра U = U(si(2)) получится из Uq, если положить q = 1. Однако использование определения 1.1 не позволяет увидеть это непосредственно. Поэтому сначала мы дадим другой способ представления алгебры Ug.
Предложение 6.2.1. Алгебра Uq изоморфна алгебре Uq, порожденной пятью образующими, E,F,K,K~l ,L, и соотношениями
KK'1 = К~1К = 1, (2.1)
KEK-1 = q2E, KFK-1 = q~2F, (2.2)
[E,F] = L, (q-q-1)L = K-K-\ (2.3)
[L, E] = q(EK + K~lE), [L,F] = -q~1(FK + K~lF). (2.4)
Заметим, что, в отличие от Uq, алгебра U1q определена при всех значениях параметра q, в частности, когда q = 1. В некотором смысле было бы лучше развивать всю теорию квантовой обертывающей алгебры для sl(2), используя Uq вместо Uq, однако для наших целей подходит более простое определение 1.1.
Доказательство. Положим
V(E) = E, tp(F) = F, V(K) = K
и
ф(Е) = Е, V(F)=F, ф(К) = К, ф(Ь) = [Е,Р).
Очевидно, что <р поднимается до корректно определенного гомоморфизма из алгебры Uq в Uq. Покажем, что гомоморфизм ф: Uq —»• Uq также корректно определен. Достаточно проверить, что ф переводит определяющие соотношения из предложения 2.1 в соотношения, верные в Uq. Это, очевидно, верно для соотношений (2.1), (2.2) и для [Е, F] = L. Для оставшихся соотношений (2.3) мы имеем
(q - я~х)ф(Ь) = (q- q-x)[E, F] = К — К"1. 6.2. Связь с обертывающей алгеброй алгебры Ли sl(2)
161
Для первого из соотношений (2.4) мы получаем
[фЩ,ф(Е)] = [[E1FlE] = -±—^[К-К-\Е] =
_ (д2 - 1 )ЕК + (д2 - 1 )К~1Е _ q-q'1
= д{ЕК + K-1E).
Последнее соотношение выводится аналогично.
Читатель может убедиться в том, что <р и ф являются взаимно обратными гомоморфизмами, проверив необходимые соотношения для образующих. ?
Следующее утверждение устанавливает связь между Uq и обертывающей алгеброй U.
Предложение 6.2.2. Полагая q = 1, получаем:
U[ ? U[K]/{K2 - 1) и U^ U[/(K - 1).
Доказательство. Второй изоморфизм очевиден. Докажем первый. Алгебра U[ описывается следующим образом: она порождена образующими E, F, К, К'1, L и соотношениями (2.1)-(2.4), в которых q заменено на 1, то есть
KK'1 = K-1K = 1, (2.5)
KEK-1 = Е, KFK-1 = F, (2.6)
[E,F] = L, K-K-1 = 0, (2.7)
[L,E] = (EK + К~ХЕ), [L,F] =-(FK+ K-1F). (2.8)
Соотношения (2.5), (2.6) и первое из (2.7) означают, что К принадлежит центру. Второе из соотношений (2.7) дает K2 = 1, что позволяет переписать соотношения (2.8) в виде
[L1Е] = 2 EK1 [L1F] = -2 FK. (2.9)
Таким образом, мы получим изоморфизм из U[ в U[К]/(K2 — 1), если отправим E в XK1 F — в Y1 К — в К ъ L — в HK. ? 162
Глава 6. Квантовая обертывающая алгебра алгебры JIu sl(2)
В частности, проекция U[ на U получается, если отобразить E в X, F — в Y, К — в 1 и L — в Н. Используя эту проекцию, можно по-другому вывести некоторые соотношения в U (например, лемму 5.3.1), исходя из соответствующих (/-аналогов в U'q.
6.3. Представления алгебры Uq
В этом параграфе мы предполагаем, что комплексный параметр q не является корнем из единицы. Наша цель состоит в построении при этом предположении всех конечномерных простых Е/^-модулей, следуя методам параграфа 5.4.
