Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кассель К. -> "Квантовые группы" -> 50

Квантовые группы - Кассель К.

Кассель К. Квантовые группы — Фазис, 1999. — 698 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantoviegruppi1999.djvu
Предыдущая << 1 .. 44 45 46 47 48 49 < 50 > 51 52 53 54 55 56 .. 199 >> Следующая


7. Покажите, что обертывающая алгебра J7(sl(2)) нётерова и не имеет делителей нуля. Найдите ее центр. (Указание: действуйте по аналогии с параграфом 6.4.)

8. Предположим, что поле к имеет характеристику нуль. Покажите, что алгебра Ли s [(2) не имеет нетривиальных идеалов. Выведите отсюда, что 51(2) = [sl(2),sl(2)].

9. Покажите, что модуль, двойственный к U-модулю V(n), изоморфен V(n).

10. Найдите все автоморфизмы алгебры Хопфа U(sl(2)).

11. Проверьте, что существует антиавтоморфизм T алгебры J7(s[(2)) такой, что T(X) = Y, T(Y) = X и T(H) = Н. Докажите, что T является гомоморфизмом коалгебр. Найдите все невырожденные симметричные билинейные формы ( , ) на простом модуле V(n) такие, что (xv,v') = (v,T(x)v') для всех х Є C/(sl(2)) и v,v' Є F(n). Покажите, что базис пространства V (п), состоящий из векторов ^Oi • • ¦ ; vn (определенный в параграфе 4), ортогонален для такой

f([x,y]) = xf(y)-yf(x)

для всех х, у Є L. Предположим, что форма ( , )р невырождена и, значит, элемент Cp определен корректно. Покажите, что имеет место равенство

1 <i<d

формы. 152

Глава 5. Алгебра JIu алгебры SL(2)

12. (Структура биалгебры на квантовой плоскости.) (а) Покажите, что формулы

А(х) = х®х, А(у) = x ® у + у ® 1, е(х) = 1, є(у) = О

задают структуры биалгебр на свободной алгебре к{х,у} и квантовой ПЛОСКОСТИ кд[х, у].

(б) Докажите, что алгебра R является модульной алгеброй над биалгеброй к{х, у} (соответственно над к?[х, у]) тогда и только тогда, когда существует гомоморфизм г из алгебры R в себя и т-дифференцирование 5 (соответственно ти 6 такие, что выполняются соотношения 5т = дт5).

(в) Найдите все структуры к?[х, у]-алгебры на алгебре многочленов к[z] (рассмотрите только те, для которых г является автоморфизмом). В частности, покажите, что если г есть автоморфизм tq алгебры k[z], рассмотренный в параграфе 4.2, то 8 всегда совпадает с oq с точностью до умножения на константу (см. упражнение 4 главы 4).

13. Покажите, что любая антилинейная инволюция * комплексной алгебры Ли L такая, что [х,у]* = [у*,х*] для всех х,у Є L, индуцирует структуру *-алгебры Хопфа на U(L).

14. Докажите, что существует, и притом единственная, структура *-алгебры Хопфа на U(sl(2)) такая, что X* = У, Y* = X и Н* = -Я.

15. Найдите все с точностью до эквивалентности структуры *-алгеб-ры Хопфа на U(sl(2)), предполагая, что основное поле есть поле комплексных чисел.

5.9. Замечания

По теории алгебр Ли существует большое число учебников. См. например, [ВоибО], [Dix74], [Hum72], [Jac79], [Ser65], [Var74]. Содержание этой главы существенным образом взято из этих источников. Доказательство теоремы 4.6 мы нашли в книге Ceppa [Ser65]. Что касается 4.10. Замечания

153

определения 7.1, то мы взяли его из [Так81]. Дополним содержание этой главы следующими замечаниями.

(Свободные алгебры Ли.) Пусть X — некоторое множество. Рассмотрим наименьшую подалгебру Ли C(X) свободной алгебры к{Х}, содержащую X. Обозначим через ix каноническое вложение X в C(X). Свободная алгебра Ли C(X) обладает следующим свойством универсальности: для любого отображения / из множества X в алгебру Ли L существует, и притом единственный, гомоморфизм алгебр Ли / : C(X) —> L такой, что / = f огх- Из этого свойства универсальности, предложения 1.2.1 и теоремы 2.1 следует, что существует изоморфизм алгебр

U(C(X))^k(X).

Описание базисов алгебры C(X) можно найти в [ВоибО, гл. 2] (см. также [Reu93]).

(Примитивные элементы обертывающей алгебры.) Любая алгебра Ли содержится в алгебре Ли примитивных элементов своей обертывающей алгебры. Для поля характеристики нуль это вложение является равенством

L = Prim([/(L)).

Применительно к свободным алгебрам получаем C(X) = Prim(k{X}) (см. [ВоибО, гл.2]).

(Вещественные формы.) Вещественной формой комплексной алгебры Ли L называется вещественная подалгебра Lu в L такая, что вложение комплексификации Lr ® і Lr в L есть изоморфизм комплексных алгебр Ли. Здесь і обозначает квадратный корень из —1. Каждой вещественной форме соответствует сопряжение, которое является антилинейным инволютивным эндоморфизмом ст алгебры Ли и задается формулой

а(х + iy) = X — іу

для всех х,у Є Lr. Обратно, для любой антилинейной инволюции алгебры Ли L мы получаем вещественную форму следующим образом:

Lr = {х Є L I а(х) = я}.

Для любой вещественной формы алгебры Ли L и сопряжения ст мы задаем структуру *-алгебры Хопфа на обертывающей алгебре U(L) как * = S о U(а). Другими словами, мы имеем 1* = 1 и

(xi... хп)* = (-1 )па(хп)... a(xi) 154

Глава 5. Алгебра JIu алгебры SL(2)

для всех .. ,хп Є L. Обратно, предположим, что мы имеем структуру *-алгебры Хопфа на обертывающей алгебре U(L). Так как отображение * сохраняет коумножение, оно сохраняет подалгебру Ли, состоящую из примитивных элементов, которая совпадает с L (мы рассматриваем случай поля характеристики нуль). Легко проверить, что подпространство элементов х Є L таких, что х = —х*, является вещественной формой алгебры Ли L. Мы видим, таким образом, что вещественные формы на комплексной алгебре Ли L находятся во взаимно однозначном соответствии со структурами +-алгебры Хопфа на U(L).
Предыдущая << 1 .. 44 45 46 47 48 49 < 50 > 51 52 53 54 55 56 .. 199 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed