Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
Задание элементов А, В, С и D использует простой модуль F(I) с базисом {г>о, fj}, описанным в параграфе 4. Для данного элемента и Є U положим
А(и) В (и)
p{u)=\C(u) D(u)
где р есть представление р( 1), соответствующее модулю F(I). Это равенство определяет четыре линейных функции на U, то есть четыре элемента А, В, С, D двойственного пространства U*. Так как коумножение в U кокоммутативно, двойственная алгебра U* коммутативна. Следовательно, четверка (А, В, С, D) корректно задает гомоморфизм алгебр ф : M(2) —> U* такой, что
ф(а) = А, ф(Ь) = В, ф(с) = С, ф(й) = 0. (7.6)
Предложение 5.7.3. Билинейная форма (и,х) = ф(х)(и) реализует двойственность между биалгебрами U и M(2). 144
Глава 5. Алгебра JIu алгебры SL(2)
Доказательство. Достаточно проверить соотношения (7.1) и (7.3). Начнем с (7.3). Равенство р(1) = 1 дает
(1,о> (1,6) \ ( A(I) B(I) \ ( 1 О
(1,с) (l,d) J I4C(I) D(I)J I4O 1
є (а) є(Ь)
є (с) e(d)
(7.7)
по определению коединицы в М(2). Далее, из соотношений (7.2) получаем
(1 ,ху) = (1,х)(1,у).
Оба отображения х >->¦ (1, х) и є являются гомоморфизмами алгебр и совпадают на образующих a,b,c,d алгебры M (2) согласно формуле (7.7). Следовательно, они должны совпадать всюду, что завершает доказательство (7.3).
Теперь мы перейдем к доказательству соотношения (7.1). Обозначим через У(х) следующее условие на элемент X из M(2): для любой пары (и, v) элементов из U имеет место равенство
(!)
х")
Сначала докажем, что выполнено условие У(1). Действительно, из (7.4) мы получаем
(uv, 1) = e(uv) = є(и)є(ь) = (и, l)(v, 1).
Далее, докажем, что выполняются условия У (а), У (Ь), У (с) и Y(d). Мы имеем по определению
( А(и) В(и)\_((и,а) (и,Ъ) Р[и)-\С(и) D(U)J- \(и,с) (u,d)
Запишем условие p(uv) = p(u)p(v). Мы имеем
(uv,a) (uv,b) \ _ Ґ (*»> а) (и,Ь) \ ( (v,a) (v,b)
(¦uv, с) (uv, d) J V (u'c) ("'cO J V (w'c)
(7.8) 5.7. Двойственность между алгебрами Хопфа U (s 1(2)) и SL(2)
145
Расписав это матричное произведение, мы получаем в точности требуемые четыре соотношения, поскольку, как мы знаем из главы 1, коумножение на М(2) определяется матричным соотношением
Для завершения доказательства формулы (7.1) мы должны проверить выполнение условия У(х) для произвольного элемента X из М(2). Для этого, во-первых, заметим, что если условия У (ж) и У (у) имеют место, то выполнено и условие У(Ах + у) для произвольного скаляра А; во-вторых, воспользуемся следующей леммой, завершающей доказательство предложения. ?
Лемма 5.7.4. Если выполнены условия У(х) и У (у), то выполнено и условие У (ху).
Доказательство. Из условий (7.2) и У(х), У (у) вытекает, что
(¦UV,ху) = ^((uw)',a;)((uw)",y) =
(uv)
= ]Г (u'v',x)(u"v",y) =
(U)(V)
= ? (u',x')(v',x"){u",y')(v",y"). (uXu)(1Hf)
Из этих условий вытекает также, что
(ху) (х)(у)
= E (u',x'}(u",y')(v',x")(v"y) = (u)(v)(x)(y)
= (uv,xy). ?
Двойственность между U и М(2) не является совершенной: гомоморфизм ф не инъективен, как показывает следующая лемма.
Лемма 5.7.5. Мы имеем ф(ай — be) = 1. 146
Глава 5. Алгебра JIu алгебры SL(2)
Эквивалентно: (и, ad — be) = є(и) для всех элементов и Є U.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Утверждение леммы 1.5.2 в виде равенства (2.4.5) означает, что элемент ad — be является групповым. Следовательно, из формулы (7.1) для любой пары (и, v) элементов U мы имеем
(uv, ad — be) = (и, ad — bc)(v, ad — be).
С другой стороны, из (7.3) мы получаем
(1 ,ad - be) = є(аd - be) = 1.
Это означает, что линейное отображение и »->• (и, ad — be) есть гомоморфизм из алгебры U в к. Чтобы показать, что этот гомоморфизм совпадает с коединицей, достаточно убедиться в том, что оба отображения имеют одинаковые значения на образующих X, Y и Н. Но действительно, мы имеем
(X, ad - be) = є(а)(Х, d) + (X, a)e(d) - є(Ь)(Х, с) - (X, Ь)є(с) = - О = є(Х).
Аналогично, мы получаем (У, ad — be) = 0 = є(У). И наконец,
(Н, ad - be) = є(а)(Н, d) + (H,a)e(d) - є(Ь)(Н,с) - (Н,Ь)є(с) =
=-1 + 1 = 0 = є(Я). ?
Согласно предыдущей лемме гомоморфизм алгебр -ф : M(2) —>¦ U* факторизуется до отображения из SL(2) = M(2)/(ad — bc— 1). Мы продолжаем использовать обозначение ф для индуцированного гомоморфизма из алгебры SL(2) в U* и обозначение ( , ) для соответствующей билинейной формы.
Теорема 5.7.6. Билинейная форма (и,х) = ф(х)(и) реализует двойственность между алгебрами Хопфа U и SL(2).
Доказательство. Мы уже знаем, что ф есть гомоморфизм алгебр. Согласно предложению 7.2 нам осталось показать, что отображение (р: U SL(2)* также является гомоморфизмом алгебр. Но 5.7. Двойственность между алгебрами Хопфа U (s 1(2)) и SL(2)
147
действительно, проекция из М(2) на SL(2) имеет в качестве двойственного мономорфизм из SL(2)* в М(2)*. Очевидно, что, взяв композицию последнего с отображением ip, мы получим гомоморфизм алгебр (р\ U М(2)*, изученный ранее. Следовательно, отображение <р: U —ь SL(2)* есть гомоморфизм алгебр. Таким образом, мы имеем двойственность между рассматриваемыми биалгебрами.
