Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
Остается проверить условие на антиподы, то есть равенство (7.5). Начнем с образующих. В сокращенной матричной форме мы имеем
Аналогично разбираются случаи с Y1 H и 1.
В случае произвольных элементов из U и SL(2) применим следующее утверждение.
Лемма 5.7.7. Пусть U1V — элементы алгебры UuC — некоторая подкоалгебра в SL(2). Если для всех х Є С имеют место соотношения
то (S(uv),x) = (uv,S(x)). Аналогично, пусть х,у — элементы из SL(2), а С — некоторая подкоалгебра в U. Если для всех и E С выполнены соотношения
(S(u),x) = (u,S(x)) и (S(v),x) = (v,S(x)),
(S(U)1X) = (u,S(x)) и (S(U)iy) = (U1S(V))1
то (S(u),xy) = (u,S(xy)). 148
Глава 5. Алгебра JIu алгебры SL(2)
Доказательство. Из теоремы 3.3.4 (а) и определения 7.1 следует, что
(S{uv),x) = (S(v)S(u),x) =
= ^(S(v),x')(S(u),x") =
(х)
= X>,5(z"))^,5(x')> =
(x)
(s(s)) = (uv,S(x)).
Доказательство второго утверждения аналогично. ?
Двойственность между U и 51/(2) порождает двойственность между [/-модулями и SL (2)-комо дулями, которую мы сейчас исследуем. В параграфе 3.7 мы показали, что векторное пространство к [ж, у]п однородных многочленов степени п имеет естественную структуру SL^-комодуля. По двойственности, дуальное пространство к[ж,у]* имеет структуру модуля над алгеброй SL(2)*, а следовательно, и над алгеброй U при помощи гомоморфизма <р: U —> 51/(2)*. Следующее утверждение описывает структуру к[ж, у]* как U-модуля.
Теорема 5.7.8. к[х,у]* является простым U-модулем со старшим весом п.
Другими словами, 5?(2)-комодуль к[х,у]п соответствует по двойственности U-модулю V(n).
Доказательство. Мы покажем, что линейная функция на к[ж,у]п, заданная формулой
1(хгуп~') = Sni,
является старшим вектором веса п на [/-модуле к[ж,у]*, откуда будет следовать, что к[х,у]*п содержит подмодуль, изоморфный простому модулю V(n). Так как
dim(F(n)) = п + 1 = dim(k[z, у]*),
мы получим к [ж, у]* = V(n). 5.7. Двойственность между алгебрами Хопфа U (s 1(2)) и SL(2)
149
Для доказательства того, что / является старшим вектором, нужно проверить, что для всех и Є U и всех і таких, что 0 ^ і ^ n, выполняется соотношение
Ы)(хгуп-г) = (ща1сп->). (7.9)
Но действительно, из определения /, примера 2 из параграфа 3.6 и леммы 3.7.4 мы имеем
Ы)(хгуп~г) =
= (Lp(U)J)(Xr) = = (<р(и) ® Л(АА(х'уп-г)) =
^Z^ZifOf"-1) (щаг^~гсЧп-г-8)!(хг+8уп-г-3) =
г=0 s=0 V7^V S '
= EEfM(nJi) <«, ^bi-Vrfn--)^, =
r=0 s=0 ^
= EEfnfnJ') =
Г=О s=0 \ ' \ '
= (U1CLi Cn^).
Применим соотношение (7.9) к Н. Прямое вычисление с использованием соотношений (7.2), (7.3) и определения билинейной формы дает
(H, агС>) = iojo-
Следовательно, мы имеем (Н f)(x1yn~l) = п5пі, откуда Hf = nf.
Остается доказать, что Xf = 0. Это следует из формулы (7.9), примененной к X, и того факта, что (Х,агс?) = 0 для всех г и j. Докажем последнее. Во-первых, мы имеем (X, 1) = є(Х) = 0. Далее, если і > 0, то из соотношений (7.2), (7.3) мы имеем
(X, (Iі) = є(а)(Х,а1~1) + (Х,а)є(аі~1) =
= (X, ai_1) = ... = (X, а) =0.
Аналогично, в случае j > 0 мы получаем
(X1Ci) = ?(с)(Х,6>~1) + (Х,с)е(<?-1) = 0.
Следовательно,
(X1GiCi) = е(а*)(Х,с>) + (Х,а?)е(<?) = 0. ? 150
Глава 5. Алгебра JIu алгебры SL(2)
5.8. Упражнения
1. Пусть L — некоторая алгебра Ли. Покажите, что [L, L] является идеалом в L и что фактор-алгебра Ли Lab = L/[L,L) абеле-ва. Докажите, что если / — гомоморфизм из алгебры Ли L в произвольную абелеву алгебру Ли V, то существует, и притом единственное, линейное отображение /аЬ из Lab в V такое, что / является композицией отображений /аЬ и канонической проекции из L на Lab.
2. Для любой алгебры Ли найдите группу, состоящую из групповых элементов алгебры Хопфа U(L).
3. Пусть А — некоторая алгебра, Der(A) — векторное пространство ее дифференцирований. Покажите, что коммутатор любых двух дифференцирований снова является дифференцированием и что Der(A) — подалгебра Ли в gt(A).
4. Покажите, что любая алгебра А является модульной алгеброй над обертывающей алгеброй алгебры Ли Der(A) и над биалгеброй k[G], где G — группа автоморфизмов алгебры А.
5. Пусть L — некоторая алгебра Ли, р: L —> gl(V) — конечномерное представление L. Определим симметричную билинейную форму на L по формуле
(х,у)р = tr (р(х)р(у)), где tr обозначает след оператора.
(а) Докажите, что эта форма инвариантна, то есть для всех x,y,z Є L имеет место равенство
([x,y],z)p = (x,[y,z])p.
(б) Пусть — базис в L. Предположим, что форма ( , )р невырождена. Зададим новый базис {a^ji^i^d требованием (хи xJ)р = Sij. Получим элемент Cp = Екк. x^ алгебры U(L). Покажите, что элемент Cp лежит в центре обертывающей алгебры и tr(p(Cp)) = d = dim(L). 4.9. Упражнения
151
(в) (Лемма Уайтхеда.) Пусть / : L —> V линейное отображение, удовлетворяющее соотношению
Выведите отсюда, что если элемент р(Ср) обратим, то существует вектор VbV такой, что для всех х Є L мы имеем f(x) = xv.
6. Найдите все инвариантные билинейные формы на sl(2) (которые определены в предыдущем упражнении; предположите, что характеристика поля к равна нулю).
