Астрофизика, кванты и теория относительности - Каррелли А.
Скачать (прямая ссылка):
В соответствии с нашим общим предположением о дифференцируемой структуре Vi мы можем посредством выбора <р(в>, с одной стороны, И 2 — с другой, ввести или устранить разрывы в производных от несущественных потенциалов, лишенные физического смысла.
5. Теория относительности и математическая физика
157
3. Если g00 ф 0, то система уравнений Эйнштейна во внешнем случае эквивалентна совокупности двух систем
Rtjmt-^doogil+ F11 = O (12.8)
И
Sj-Of (12.9)
где Fij зависят только от условий Коши и их тангенциальных производных. Если метрика удовлетворяет уравнению (12.8) и — только на 2—уравнению (12.9), то она необходимо удовлетворяет (12.9) также вне 2. Это непосредственное следствие законов сохранения (12.2).
4. Предположим, что T непрерывен на 2. Для того чтобы
вторые производные от существенных потенциалов (или тензора кривизны) были разрывны при пересечении 2, необходимо, чтобы g00 = 0, т. е. чтобы 2 была касательной к элемен-
тарным конусам.
Обычная гравитационная волна определяется решением g уравнений Эйнштейна (где T непрерывен), для которого тензор кривизны регулярно разрывен при пересечении гиперповерхности 2, которая называется волновым фронтом.
Иначе говоря, вторые производные от существенных потенциалов на 2 регулярно разрывны при пересечении 2. Для этих волн можно провести исследование, аналогичное приведенному в разд. 11, а. Мы, однако, не будем этого делать, а сосредоточим наше внимание на ударных волнах, которые представляют собой более интересный и сложный объект исследования. Во всяком случае, справедливо
Предложение. Фронты гравитационных волн (или характеристические многообразия системы уравнений Эйнштейна) есть изотропные гиперповерхности, касательные в каждой своей точке к элементарному конусу в этой же точке.
Отсюда следует, что бихарактеристики систем уравнений Эйнштейна (или гравитационные лучи) по-прежнему будут изотропными геодезическими метрического тензора g пространства-времени. Если T относится к классу С1, то вдоль этих лучей, которые порождают волновой фронт 2, имеет место уравнение распространения
P (I) [Ra p. - 2/pVp [*ор. *] + VpZp [R4, ,J = 0. (12.10)
13. Гармонические величины
В многочисленных математических исследованиях уравнений Эйнштейна оказывается удобным ввести определенную систему локальных координат — гармонические координаты. Мы вводим
А. Лихнерович
также четыре величины (гармонические величины), которые являются первыми членами условий гармоничности. Отметим, что гармонические координаты есть точный инструмент для математического анализа системы уравнений Эйнштейна, однако они не дают каких-либо особенных преимуществ с точки зрения физической интерпретации.
а. Рассмотрим скалярное уравнение второго порядка с теми же характеристиками, что и уравнения Эйнштейна. Простейшее уравнение, которое обладает такими свойствами, может быть записано в виде
Дф =S= 6 d(p = 0 (13.1)
и является «уравнением Лапласа» для многообразия (V4, д). Локально имеем
Дф - - g“4 V = - ?ðР(дарф - ГР(*Эрф). (13.2)
Система {яр} локальных координат называется гармонической,
если — локальные решения уравнения (13.1). Введем для произвольного отображения четыре гармонические величины
Fp = \хр = gapItp. (13.3)
Положим
fp = ^a = gap[oP, р].
Величины Fp и F9 зависят от потенциалов и линейно зависят от их первых производных.
б. Введем величины Lap, определяемые соотношением
= + (JpZ7a. (13.4)
Имеем
2?ap ^ g** R [^. р] + др а]}.
где СИМВОЛ Cif определяет по модулю члены, зависящие от потенциалов и (квадратично) от их перьых производных. Несложное вычисление дает
(^ci\i§$k Ч" gap, (13.5)
С другой стороны, из (12.6) следует
— 2 “Ь ~2 “Ь
Из сравнения с (13.5) получается интересная формула Raр + Lop.
5. Теория относительности и математическая физика
159
Теорема,. В произвольном отображении каждая компонента тензора Риччи может быть записана в виде
/?аЦ = Я$+?ае> (13.6)
где Lag определяются посредством (13.4) и где
^--T*"4A»+'V <|3-7>
причем Фаз зависят от потенциалов и (квадратично) от их первых производных.
Если координаты являются гармоническими, то /?ар =
= Ral**- и имеет место разделение потенциалов
на урозне их вторых производных.
14. Уравнения Эйнштейна и гармонические координаты
а. Рассмотрим общую систему уравнений Эйнштейна, где предполагается, что T относится к классу С1, т. е.
Sap = X^ap* (14.1)
Если T =ZgaPjTap, то (14.1) можно записать в виде
Rap = X (^ap 2" ^?ар) • 0^.2)
Из законов сохранения (12.2) и системы (14.1) следует, что T
удовлетворяет соотношению
VaTl = 0. (14.3)
Если решение уравнений Эйнштейна записано в гармонических координатах, то La$ = 0, и это решение удовлетворяет уравнению
S^ = Xrap, (14.4)
где
sA1=SS-т *%>• #*=***&¦
Уравнения (14.1) можно также записать в виде
*$=* К-!*«/)•
Разумеется, наше решение удовлетворяет (14.3).
б. Наоборот, пусть 2 — пространственная гиперповерхность, а {Уа} — отображение, адаптированное к 2. Рассмотрим
