Астрофизика, кванты и теория относительности - Каррелли А.
Скачать (прямая ссылка):
(V=*(ГУ° <21-7>
Вычитая (21.7) из (21.6), получаем
H4 = 0, (21.8)
т. е. условия удара.
Согласно (21.3), двойная 2-форма H удовлетворяет условию (20.2). Уравнение (21.8) является частным случаем (20.5). Таким образом, H сингулярна с фундаментальным вектором I в каждой точке на S и / изотропен. Гиперповерхность S с необходимостью является характеристической для системы уравнений Эйнштейна. Очевидно, что эта ситуация полностью отличается от соответствующей ситуации для гидродинамических ударных волн (см. ч. V). В этом последнем случае обычные волны распространяются со скоростью звука (что соответствует характеристикам), а ударные волны являются сверхзвуковыми до удара и субзвуковыми после него. Здесь же сама скорость с играет роль скорости звука; с эвристической точки зрения можно сказать, что скорость гравитационных ударных волн не может быть «сверхзвуковой» относительно с, т. е. фронт ударной волны сам является в точности характеристическим, как в случае обычных волн.
Обозначим посредством b' тензор jut (b), ассоциированный с Ь; при изотропном I из (21.4) следует, что условия удара могут быть записаны в виде
(&<хр/Р) Ift + (^Wp) ta = 0. (21 -9)
Из этого уравнения следует, что существует такой скаляр 0, что baptp= 9/а, однако оно удовлетворяется лишь при 0 = 0. Имеют место четыре условия удара, инвариантные относительно
5. Теория относительности и математическая физика
175
преобразований калибровки:
&а/ = 0 (21.10)
или
Ьа/ = (Ь/2)1а. (21.11)
Согласно (19.2), bb2l<>tp, и можно выбрать (Zp) так, что b = 0. Если это сделать при новом преобразовании калибровки, сохраняющем условие Ь = 0, то получаем lptp = 0. Полагая в этом случае
саХ = ~ ХІФ<tt>
приводим формулу (21.3) к виду (20.9), где са% удовлетворяют
(20.11) в соответствии с условиями удара.
в. Можно интерпретировать соотношение (21.11) с помощью гармонических величин Fp, ассоциированных с произвольным отображением. Имеем
[FP] = Vrf* (/Ap + *Ар - VV)>
т. е.
[FP]=bK/-mip.
Уравнение (21.11) выражает непрерывность на 2 всех четырех гармонических величин F9. В результате имеем теорему.
Теорема,. Фронт эффективной гравитационной ударной волны с необходимостью является характеристическим, и в этом случае имеют место четыре условия удара, определяемые соотношением (21.11) или непрерывностью на 2 четырех гармонических величин Pp. соответствующих произвольному допустимому отображению.
г. Введем скаляр, инвариантный относительно преобразования калибровки:
е(2) = 1 ьа%ц = ± (Ьа%е - 4 Ъ2). (21.12)
Интерпретацию его дадим позднее. Для калибровки 6 = 0 в приведенных выше (разд. 20) обозначениях имеем
®(2) = ^baр = С ^Cap = 2 (Quv) •
и, V
Ho поскольку = 0, из (20.7) получаем
"Ь ^22 = 0" (21.13)
Очевидно, что наша гравитационная волна, переносимая по-
средством Н, записанной согласно (20.6), допускает две неза-
176
А. Лихнерович
висимые моды, соответствующие ап == — а22 и а{2. Получаем е(2) = 2 {(ail)2 + (аі2)2} = 2 {(аі2)2 — ана22) > 0. (21.14)
Скаляр в(2) > 0 можно рассматривать как задающий силу гравитационного удара в рассматриваемой точке 2.
22. Геометрическое следствие
а. Из условий удара вытекает следующее предложение.
Предложение. Оператор ковариантного дифференцирования /pVp вдоль I вполне определен на 2. Скаляр Va,/* непрерывен при пересечении 2.
Действительно, /pVp вполне определен на 2, если величины /рГр непрерывны на 2. Это эквивалентно исследованию непрерывности величин /р[рр,а]. Разрывы этих величин равны
V/ (1Рьч+/д р - Ubfip)=V2 {Ьа/ • /р - Vp • о
и равны нулю в соответствии с условиями удара.
С другой стороны, согласно нашему предположению, ф относится к классу (С1, кусочно С2). Существует такой скаляр пг$ что
Отсюда следует
[Vxg = m/Л - Zp [ [Яц, р] ] = (Ш — ЧФ) IkIii. (22.1)
Сворачивая, видим, что скаляр V*/* непрерывен.
б. Из этого предложения, как и в разд. 11, можно вывести соотношение
/aV/= 0, (22.2)
в котором левая часть вполне определена на гиперповерхности 2, порождаемой гравитационными лучами*
23. Распространение разрывов
До сих пор мы всюду предполагали, что T регулярно разрывен при пересечении 2. Рассмотрим распространение H вдоль лучей.
а. Фиксируем на Q допустимое отображение {*“}. Согласно
разд. 13, уравнения Эйнштейна можно записать на Q+ или Q-
в виде
- 4*?,**> + Vf + V. + ¦« “ 2XjV (23-1)
5. Теория относительности и математическая физика
177
где -фар квадратична относительно первых производных:
<23-2>
причем А зависит только от потенциалов и симметрична относительно наборов индексов (Xjiv) и (рот). Из (23.1) путем вы-читання получаем
- ***» Кг.,1 +»[V, + V.)+51?,] “ ад [Пе] • (М-З)
Выражая -ф «э через А, находим
«[*»]“ 'C"" { Ка„)+ + К®*)"} 'А*- (23.4)
С другой стороны, если рассматривать gap как локальные ска* ляры на й, то из (6.7) следует, что существуют такие скаляр-ные обобщенные функции ffa,p на Q, что
^ = d)Jv?8aр Ч- Zx^j* Sffaff ~t~ р Ч" 4/ц?а$>
