Астрофизика, кванты и теория относительности - Каррелли А.
Скачать (прямая ссылка):
А(х, Ui д)U = B(x, ?/), (16.1)
где А — диагональная матрица А(ху Ui д) = (ах(х, Ui д)) (т = = 1, 2, ..., р), ах — дифференциальные операторы соответствующих порядков т(т) и В(Xi U) = (Ьх(ху U)).
Для того чтобы уточнить предположения, которые мы сделаем относительно ах и bXi свяжем с каждой неизвестной иа целочисленный индекс s (a) ^ 1, а с каждым уравнением т
5. Теория относительности и математическая физика
163
системы целочисленный индекс t(x) ^ 1 таким образом, что m (т) = s (<т) — / (т) + I.
Мы полагаем, что Ьх и коэффициенты при ах есть достаточно регулярные функции х, иа и производных от иа порядка ^ s (а)—/(т). Если s (о)—Z(t)<0, то Ьх и коэффициенты при ах не зависят от иа.
Структура системы (16.1) определяет индексы s(a) и /(т) с точностью до аддитивной постоянной. Если выполняются пре-дыдущие предположения, то мы говорим, что (16.1) есть система JIepe.
б. Определим теперь задачу Коши для системы (16.1). Пусть 2 — локальная регулярная гиперповерхность. В окрестности 2 введем V = (va), где функции Va — производные по-рядка ^ s (о) + 1, локально квадратично интегрируемые.
Мы полагаем:
1) что гиперповерхность 2 является пространственной для А (х, V, д), где їє2;
2) что матрица А (х, V, д) является строго гиперболической на Q;
3) что разности {ах(х, V, д) vx — bx(x,V)} и их производные порядка </(т) равны нулю на 2.
Рассмотрим при этих предположениях задачу Коши для системы (16.1) с помощью условий Коши, определенных посредством V. Решением этой задачи Коши является решение U = (м0) системы (16.1), допускающее производные порядка
(о), локально квадратично интегрируемые и такие, что иа — Va и их производные порядка <.s(a) равны нулю на Б. Для этой задачи JIepe доказал следующую теорему существования и единственности (случай строго гиперболических систем JIepe):
Теорема (Лере). Если х є 2, то задача Kouiu для системы (16.1) допускает при наших предположениях решение по крайней мере в окрестности х. Если U = (U0) и U = (и') — два решения задачи Коши в окрестности х и если иа и и'а— локально квадратично интегрируемые производные порядка =O (а) +. + 1, то эти два решения совпадают.
Рассмотрим, например, строго гиперболическую систему Jlepe. В обычном смысле условиями Коши являются здесь значения иа на 2 и значения их производных порядка (о) — 1, подчиняющиеся надлежащим условиям совместимости. Теорема JIepe гласит, что для такой системы существование и единственность имеют место для локальной задачи Коши.
6*
164
А. Лихнерович
17. Уравнения Эйнштейна во внешнем случае
а. Применим сначала теорему Лере к системе уравнений Эйнштейна во внешнем случае:
Rafi = O. (17.1)
В гармонических координатах (17.1) можно записать в виде
+?.»(«»,. «л,)-». <17-2>
т. е.
= 2U («V дР8к»)' (17.3)
Рассмотрим систему (17.3). Легко видеть, что это система Лере. Матрица А является здесь диагональной матрицей
10 X 10» все диагональные элементы которой равны
***&*. (17.4)
Соотношения (17.2) или (17.3) удовлетворяют нашим условиям дифференцируемости со следующими индексами:
“(*«)“2. '«)=>•
Действительно, величины (17.4) имеют порядок 2—I + 1 = 2а Коэффициенты при этих величинах и второй член зависят только от IrXu и от их производных порядка не больше 2— 1 = 1.
б. Пусть теперь S — локально регулярная гиперповерхность, а {(/“} — отображение, адаптированное к 2. Рассмотрим еле* дующие условия Коши:
1) Квадратичная форма gxp_vlvil строго гиперболична и является пространственной в каждой точке для соответствующего элементарного конуса.
2) На 2 имеют место соотношения F =0, Sa = O для у° = 0. Если СІ есть полуконус будущего, то дуальным ему будет
полуконус Г*", определяемый соотношением
0, (17.5)
причем ?(t>) ^O, если v^Ci. Ясно, что здесь имеет место строгая гиперболичность. Таким образом, если условия Коши достаточно регулярны, то из теоремы Лере следует, что задача Коши, соответствующая (17.2), допускает единственное решение. В 1950 г. Шоке-Брюа установила этот результат прямым путем.
5. Теория относительности и математическая физика
165
Совокупность временных траекторий в Q, выходящих из точки у (или оканчивающихся в этой точке) в будущее, определяет будущее &+(у) (соответственно прошлое &~{у)) для точки у. Из теории Лере следует, что решения в точке у из окрестности S со стороны будущего зависят только от условий Коши на <?~{у) П S (область зависимости).
в. При Т, равном нулю, из разд. 14 следует, что предыдущее решение системы (17.2) везде удовлетворяет условиям гармоничности Fp = 0 и является, таким образом, решением системы уравнений Эйнштейна (17.1). Для условий Коши, удовлетворяющих Fр = 0 на 2, вытекает также существование решения задачи Коши для уравнений Эйнштейна во внешнем случае.
Единственность задачи Коши для системы уравнений Эйнштейна можно расширить и рассматривать как физическую или геометрическую единственность, т. е. единственность модуля преобразования отображения, оставляющего инвариантными численные значения координат в каждой точке гиперповерхности 2 и условия Коши в этой точке.
